连分数与整数进制下的丢番图逼近与正规性

In the study of Diophantine approximation, the continued fraction expansion and integer base expansion are important tools in the representation theory of real number. The measurement and fractal properties of the two representations have a strong theoretical significance and extensive application value. This project intends to research mutual relevance of the continued fraction expansion and the integer base expansions in the Diophantine approximation and normality. Firstly, we will research the efficiency of approximating real numbers by continued fraction and integer base expansion as well as the efficiency of approximating real numbers by the two representations of real number induced by two general different interval maps. Secondly, we will research the basic properties of continued fraction expansion for the real numbers in middle Cantor set. Thirdly, we will research the normality between the continued fraction expansion and the integer base expansion of real numbers..This project is aimed at exploring the measurement and fractal properties of one representation of real numbers whose another representation have specific properties, and revealing the deep relations between the different representations of real numbers. Meanwhile, it is a long hope that the new methods and techniques established in the study of these questions can promote the cross development between fractal geometry, the representations theory of real numbers and the fields of Diophantine approximation.

在丢番图逼近的研究中，连分数展式和整数进制展式是实数的表示理论中非常重要的工具。这两种表示方式所具有的度量性质和分形性质具有很强的理论意义和广泛的应用价值。本项目拟利用维数理论、数论研究的特点和技巧研究连分数展式和整数进制展式在丢番图逼近与正规性中的相互关联性： (1) 研究实数的连分数表示与整数进制表示逼近实数的效率，进而研究一般的区间映射引导的实数表示方式对实数的逼近效率。(2) 研究三分Cantor集上实数的连分数表示的基本性质。(3) 研究同一实数在连分数表示与整数进制表示下的正规性。. 本研究致力于探索实数在一种表示方式具有特定性质的情况下另一种表示方式的度量性质和分形性质，进一步揭示实数不同表示方式间的深层次联系，利用研究这些问题所发现的方法和技巧来推动分形几何、 丢番图逼近与数的表示理论领域间的交叉发展。

在度量丢番图逼近的研究中，实数的连分数表示和整数进制表示等数的表示理论起着非常重要的作用。由于实数不同的表示形式在很多度量性质以及分形性质方面具有很大的差异，连分数展式与整数进制表示之间的关系研究至今仍进展缓慢。为了研究我们在项目中提出的问题，我们首先对连分数展式部分商序列中最大部分商的相对增长速度问题、Luroth展式与连分数展式中的具有正密度的数字序列的点集的维数刻画问题进行了研究，接着对更广泛的无穷迭代函数系统中具有正密度的数字序列的点集的维数进行了刻画，涵盖之前多位作者的结果，这为更深入的了解不同展式的数字序列的性质提供更多的理论支持。其次，我们研究了连分数展式、Q无穷展式、Oppenheim展式中基本区间在Hausdorff维数刻画时的有效性，解决了之前他人提出的一个开问题，同时解释了在进行连分数展式、Oppenheim展式相关分形集维数刻画时总是应用基本区间的并集的集族来构造Cantor子集，而不是直接应用基本区间的集族的原因。最后，我们也研究Beta变换的相关性质以及形式级数域上的Oppenheim展式的相关分形性质，得到了一些结果。我们项目中所研究的问题与两种展式之间的关系有很大联系，主要的研究问题到目前仍在研究中，但我们在这个方向上所取得的研究成果为随后的理论发展和实际应用提供了一些工具和方法。