整体域上椭圆曲线和相应p进伽罗瓦表示理论

This project is a study on the arithmetic of elliptic curves over global fields (i.e. number fields and global function fields). We shall study analogue of the latest number fields methods on function fields, especially the analogue of Heegner point theory and Gross-Zagier formula on function fields, and then use the results obtained to enlighten the study of arithmetic properties of elliptic curves over number fields. We shall study the application of the theory of p-adic Galois representations on the arithmetic of elliptic curves. In particular, we shall study the construction of p-adic L-functions and Iwasawa theory, Euler system theory, p-adic Gross-Zagier formula and p-adic BSD Conjetcures for some family of elliptic curves. We shall also explore the application of Scholze theory on the arithmetic of elliptic curves.

本项目将着重于整体域（数域和整体函数域）椭圆曲线算术性质的研究。我们将研究数论最新方法在函数域椭圆曲线上的类比，特别是探求Heegner点理论，Gross-Zagier公式在函数域上的类比，并由所得到的结果反过来启发数域椭圆曲线算术性质的研究。我们将研究p进伽罗瓦表示理论在椭圆曲线算术上的应用，特别是关于p进L函数的构造和Iwasawa理论，欧拉系理论，p进Gross-Zagier公式以及一些情形的p进BSD猜想。我们还将探索Scholze理论在椭圆曲线算术理论中的应用。

本项目是对于椭圆曲线算术性质的研究, 这是数论研究重要组成部分。我们通过与田野等在数域情情形结果的类比，使用Heegner点和欧拉系理论，证明了函数域上椭圆曲线的Birch引理。我们研究了有限域超奇异椭圆曲线的同源图和自同态环，利用椭圆曲线Deuring对应，对同源图的Fp点的邻域进行了细致研究，获得一系列的重要研究结果，对于计算超奇异同源问题(CSSI)迈出了积极的一步，这是超奇异同源密码体系的数学基础。我们还开展了数域的类群和类数研究、有限域曲线L函数的牛顿折线研究、整系数同余方程组的求解问题研究等。我们在研究了Kummer扩张塔的类群，发现类群变化的一些规律，对于数域类群和椭圆曲线Selmer群研究均很有启发。项目资助已发表11篇研究论文，包括Finite Fields and Their Applications （5篇）， Proceedings AMS (1篇)和 J. Number Theory (2篇)等知名国际学术期刊，并有多篇论文在投稿过程中。