带跳随机积分离散化的渐近误差分布研究

Stochastic integral has played an important role in the fields of stochastic analysis as well as mathematical finance. However, discretization of the original integral sometimes is necessary before we put it into practical use. Research on the asymptotic error distribution for discretization of stochastic integral is meaningful, which can help us to control the risk caused by discretization. Preliminary studies have shown that it is unrealistic to quantify the discrete time in the real market. So recent papers about this distribution are mainly under the assumption of random discrete time and they basically restrained themselves on the continuous paths. But the real financial data normally have jumps, it is necessary to consider this problem for stochastic integral with jumps. In this project ,we will consider the following problems under the assumption of random discrete time ：1. the asymptotic error distributions for discretization of stochastic integral with jumps; 2 The asymptotic error distribution for discretization of pure jump stochastic integrals; 3 the asymptotic error distribution for discretization of stochastic iterated integrals with jumps. We believe that these discussions will not only enrich the asymptotic theory of stochastic processes but also provide some new theoretical results and tools for the numerical analysis of stochastic differential equations and hedging-error analysis.

随机积分一直是随机分析和金融数学中的重要内容。为了在实际金融研究中使用随机积分，将理论上的随机积分离散化是必不可少的步骤。目前，研究随机积分离散化后的渐近误差分布对于掌控离散化风险有十分重要的意义。申请者在前期研究中发现，由于实际金融操作中，确定离散时间是不现实的。最近，很多学者将研究转向了随机离散时间设定下，随机积分离散化的渐近误差分布问题。但是现有文献往往将研究限制在连续轨道随机积分上 ，然而很多实证研究表明，金融数据常含有跳，所以有必要对带跳的随机积分离散化问题进行研究。本项目将在随机离散时间设定下，对以下问题开展研究:(1)带跳随机积分离散化的渐近误差分布问题;(2)纯跳随机积分离散化的渐近误差分布问题;(3)带跳随机二重积分离散化的渐近误差分布问题。这些研究不仅能够丰富随机过程的渐近理论，也为随机微分方程数值分析，对冲误差分析方面的研究提供理论基础。

随机积分离散化的渐近误差分布问题是重要的理论问题，同时在金融实践中有一定的应用前景。随着随机分析与金融数学的发展，带跳模型越来越多地被用于描述资产变化趋势，因此，考虑带跳随机积分离散化误差是十分有必要的。本项目旨在研究带跳随机积分离散化渐近误差分布。我们研究了带跳扩散过程离散化后的误差问题，将该问题转化为了带跳扩散过程中扩散项的非参数估计的误差问题，得到了关于扩散项的非参数估计的中心极限定理。我们研究了关于纯跳随机积分的Bernstein 型不等式，并以此为基础，得到了随机权重型离散时间设定下，纯跳随机积分离散化的渐近误差分布。我们研究了在测度变换中起关键作用的似然过程的有关极限定理，得到了对数似然过程的不变原理，并以此为基础，得到了停时型离散时间设定下，纯跳随机积分离散化的渐近误差分布。 以此为基础，我们研究了重尾情形下，稳定积分的弱收敛定理。除此之外，在研究上述问题的过程中，我们将这些成果应用至计量经济领域，研究了协方差矩阵的估计问题。