量子群与有限维代数的表示理论

In my project supported by the National Natural Science Foundation of China, we completely solve the problems about the semisimplicity of cyclotomic BMW algebras and Morita equivalence for BMW algebras. We classify the blocks of BMW, cyclotomic BMW and cyclotomic Nazarov-Wenzl algebras when Hecke, Ariki-Koike and degenerate Hecke algebras are semisimple respectively.For further research,this is a proposal on the blocks classification of these finite dimensional associative algebras in other cases. We will also study the Morita equivalence for cyclotomic BMW and cyclotomic Nazarov-Wenzl algebras. We will investigate the composition factor of each cell module and its multiplicity. By establish the interaction between quantum groups and the representation theory of these finite dimensional algebras, we will define KLR-Brauer and KLR-BMW algebras. We will also study the representation theory of KLR-Brauer and KLR-BMW algebras. Finally, we will investigate the canonical bases of quantized enveloping algebras of some types. These problems are fundamental in the representation theory. This research will promote interaction between quantum groups and the representation theory of finite dimensional associative algebras.

在主持青年科学基金项目期间，我们完全解决了分圆BMW代数的半单性和BMW代数的Morita等价问题，分别刻画了在Hecke代数半单时BMW代数、Ariki-Koike代数半单时分圆BMW代数和退化Hecke代数半单时分圆Nazarov-Wenzl代数的不可约表示的块分类。作为后续研究工作，本项目将研究在其余情况下这几类有限维代数的不可约表示的块分类；解决分圆BMW代数和分圆Nazarov-Wenzl代数的Morita等价问题；拟刻画这些有限维代数的cell模的合成因子、分解数等；通过这些有限维代数与量子群范畴理论之间的联系，尝试给出KLR-Brauer和KLR-BMW代数的定义并研究其表示。我们还将研究几类型量子包络代数的典范基。这些问题都是表示论中的基本问题，其研究结果将有助于深入刻画量子群与有限维代数的表示理论之间的联系。

本项目主要研究一些与 Hecke 代数相关的代数结构与表示理论以及量子包络代数的典范基。例如分圆 Birman-Murakami-Wenzl 代数、分圆 Quiver Hecke 代数、仿射 Walled Brauer 代数、量子包络代数的紧单项式等。该项目中所研究的这些代数都与李代数、量子群有着密切地联系。. 首先，我们解决了分圆 Birman-Murakami-Wenzl 代数的 Morita 等价问题，该问题是代数表示理论研究的基本问题之一。所谓的 Morita 等价是两个代数的模范畴的等价。通过这些代数的 Morita 等价，可以反映出它们的表示理论之间的联系。. 其次，我们研究分圆 Quiver Hecke 代数的结构和表示。Quiver Hecke 代数是2008年由 Khovanov，Lauda 与 Rouquier 分别引入的，这类代数是由一些生成元和生成关系生成的Z分次代数，并且范畴化量子群的负部分。我们研究分圆 Quiver Hecke 代数的中心结构，进而刻画其 blocks 分类等表示理论。. 另外，我们还研究仿射 Walled Brauer 代数的有限维不可约表示的分类以及分圆 Walled Brauer代数的分次结构。Walled Brauer 代数是 Brauer 代数的子代数，它是由 Koike 与 Turaev 分别引入的，目的是为了研究 Walled Brauer代数与一般线性群的 Schur-Weyl 对偶。我们得出了代数闭域上仿射 Walled Brauer 代数的有限维不可约表示的分类，并尝试刻画分圆 Walled Brauer 代数的分次结构以及它与李代数、量子群之间的联系。类似地，我们研究 Birman-Murakami-Wenzl 代数的分次结构和表示理论。尝试证明它是分次 cellular 代数，进而利用分次 cellular 代数的性质和表示理论结果，刻画分次 Birman-Murakami-Wenzl 代数的结构和表示理论。. 最后，我们研究量子群与量子超群的典范基，它们具有很好的性质，在表示理论中有很重要的应用。研究对应B3型量子包络代数的 Lusztig 锥，写出了其全部紧单项式，即给出典范基中单项式形式的元素，完整地刻画了B3型量子包络代数的全部紧单项式。