源于物理的几何流研究

In geometric analysis, the nonlinear analysis of classical physical equations on manifolds is very important. Both Schrodinger flow and KdV geometric flow are Hamiltonian geometric flows from physics with rich geometric structures. In this project, we want to study classic physical equations intrinsically from the geometric point of view. Meanwhile, discussing the geometric interpretation of physical quantities will help us find more valuable problems in differential geometry. To be more specific, we will study the well-posedness and blow up phenomena of Schrodinger flow and KdV flow, explore both dynamical and geometric properties of these geometric flows, and discuss the existence of geometric solitons of these flows via variation method or topological degree theory. Base on Schrodinger flow, Ishimori flow or wave map that from Minkovski spaces into Kahler manifold, we will study the existence of vortex solutions with various vortex structures. Furthermore, because of the close relationship between geometric flows and vortex filament movement, we will also study the generalization of vortex theory in differential geometry.

关于经典物理方程在微分流形上的非线性分析是几何分析的重要研究内容，不论薛定谔流还是KdV流均是源于物理的哈密尔顿几何流，有着丰富的几何结构和性质。本项目旨在从几何角度用内蕴的方法研究物理中的系列经典发展方程，同时也通过研究一些物理量的几何意义来探索微分几何中更具研究价值的数学问题。具体的说，我们将研究薛定谔流与KdV流的适定性和爆破问题以及以薛定谔流、KdV流为基础的一系列几何流的分析性质、几何性质和动力系统性质，运用变分法或拓扑度理论深入研究各类流的几何孤立子的存在性问题。我们将从闵科夫斯基空间进入凯莱流形的薛定谔流、Ishimori流、波映射等的研究入手，分析其带有涡旋结构的涡旋解（孤立子解）的存在性。此外，由于本项目所涉及的几何流与涡丝运动关系密切，涡丝理论在微分几何层面的推广、可积系统与物理和微分几何之间的关系等也是我们的重要目标。

本项目以流体力学为背景、从无穷维辛几何的观点提出了一个新的内蕴几何流--命名为重薛定谔流，这种流是从黎曼流形进入凯勒或仿凯勒流形的映射的汉密尔顿流。本项目研究了这种流与对称李代数值的四阶薛定谔方程的等价关系及与经典物理模型的直接关系。另一方面，本项目研究了薛定谔流的更优的唯一性，非均匀薛定谔流的周期解的存在性；也构造了薛定谔流、波映射的具有各种涡旋结构的解，特别，波映射的具有涡旋结构的解为首次发现。作为薛定谔流的孤立子解的调和映射或带位势的调和映射，本项目证明了关于阿尔法调和映射收敛时产生泡泡时在某些几何条件下所满足的能量不等式；给出了平面上进入球面、具有有限能量的带某类特殊位势的等变调和映射存在时，位势函数所满足的充分必要条件。