半导体物理中的若干量子宏观模型

本项目拟研究半导体物理学中产生的若干具有量子效应的宏观模型。由于与半导体器件的描述紧密相关，这几类模型具有很强的应用背景和重要的理论意义，近年来受到了国内外数学家与物理学家的广泛关注。从数学上看，这几类量子宏观模型都是含有高阶退化非线性抛物方程的方程组。与经典的流体动力学方程组相比，量子修正项（即高阶项）使方程组的数学结构发生了根本性的改变。由于基于极值原理的一系列方法不再适用，给问题的研究带来了挑战，目前还没有形成一套成熟的理论方法。尤其对于量子能量-输运模型，缺少对温度变量的适当先验估计；而对于量子Navier-Stokes模型，存在多个类型方程的耦合作用。因此对这两类模型的研究难度更大，研究结果非常少。我们将主要研究量子Navier-Stokes模型的半经典极限和粘性消失极限；一类简化量子能量-输运模型的半经典极限和松弛时间极限；高维六阶量子漂流-扩散模型的大初值整体解和半经典极限。

量子能量-输运模型是最难的一类量子宏观模型，用于描述半导物理中产生的量子效应。通过建立对Planck常数的先验估计，我们得到了一类简化量子能量-输运模型的半经典极限。Aubin-Lions引理是对发展型偏微分方程进行紧性讨论的基本工具之一。我们给出了两个时空Lp空间中带有时间平移假设的非线性紧性定理，这是对Aubin-Lions-Simon引理的非线性推广；近而通过引入新的证明思想，去掉了Aubin-Lions(-Dubinskii)引理中一个基本的空间嵌入条件，并且给出应用。FENE-型和胡克-型聚合物流体模型，杆状细菌在溶液中游动的Doi-Saintillan-Shelley模型，胶体杆状沉积物动力学模型都是由描述宏观流体的Navier-Stokes方程和描述微观颗粒的Fokker-Planck方程耦合而成的方程组，近年来受到广泛关注。我们系统地探讨了这四类模型整体解的存在性或唯一性。此外，讨论了分别源于Hookean和FENE相对熵估计的全空间上和单位球上权空间的一系列连续和紧嵌入定理。这些嵌入结果的条件大部分是最优的；而且不依赖于空间维数。Navier-Stokes–Maxwell-Stefan方程组是刻画多组分化学反应扩散的经典模型，在化学工程中已经得到了广泛应用，我们建立了一类不可压简化情形下模型整体弱解的存在性和指数衰减到平衡态的性质，证明了Temam等人于1995年宣布但当时未证明的结果。