一类分裂等式问题的算法研究及其应用

The split equality problem has a wide application prospect in the field of image recovery, image reconstruction, intensity-modulated radiation therapy in medical and optimization. This project aims to study from three aspects. Firstly, the project will study the algorithm approximation of the convex split equality problem, by selecting the appropriate stepsize, especially which is independent of the spectral radius and the operator norm, to get efficient algorithms, and the convergence and stability analysis of the algorithms. Secondly, the present researches are mainly concentrated on the problems of convex framework, which has greatly restricted the further development of this problem. To broaden its application range and provide theoretical guidance for the related application fields of mathematics, this project will use Clark generalized differential theory, monotone operator theory and projection technique on uniformly pro- regular sets to construct the basic algorithms to solve this class of problem, and establish the convergence and stability analysis theory of algorithms. Finally, these algorithms are applied to image restoration, intensity-modulated radiation therapy in medical and optimization. We will check the efficiency of the proposed algorithms through the numerical experients, look for the factors affecting the convergence rate of the algorithms in the experiment, further improve the practicality of the algorithms.

分裂等式问题在图像重建、图像恢复、医学上的强度可调辐射疗法以及最优化领域中有着广泛的应用前景。本项目拟从三方面进行研究。首先，研究凸分裂等式问题的算法逼近，通过选取合适的步长，特别是与谱半径和算子范数无关的步长，来获得高效的算法，并给出算法的收敛性和稳定性分析。其次，当前该问题的研究主要集中在凸框架下，这极大地制约了此问题的进一步发展。为拓宽其应用范围，同时也为相关应用领域提供数学理论指导，本项目拟应用Clark广义微分理论、单调算子理论和一致近似正规集上的投影技巧构造出求解此类问题的基本算法，并建立算法的收敛性和稳定性理论。最后，将这些算法应用到图像恢复、医学上的强度可调辐射疗法和最优化的相关问题中。通过数值实验检验迭代算法的效率，在试验中寻找影响算法收敛速度的各种因素，进一步提高算法的实用性。

分裂等式问题在图像重建、图像恢复以及最优化领域中有着广泛的应用前景。本项目主要围绕分裂等式问题及其相关问题的算法及应用开展了以下研究：(1) 研究了凸集框架下的分裂等式问题、分裂公共不动点问题以及分裂可行性问题的算法逼近；(2) 研究了非凸集框架下的分裂等式问题的算法逼近；(3) 对一些可行性算法进行了编程和数值实验。本项目的主要研究成果有：(1) 我们构造了一个混合迭代算法来找分裂可行性问题的解集，无限族严格伪压缩映射的公共不动点集以及逆强单调映射和极大单调算子之和的零点集的公共元；(2) 我们获得了关于渐近序列的一个重要引理，同时给出了具半压缩映射的分裂等式不动点问题的一个新的同步迭代算法。在空间没有紧性的条件和不动点集没有额外的条件下我们得到了一个强收敛结果；(3) 在没有先验算子条件下我们构造了循环算法、平行算法和混合循环平行算法来逼近具半压缩映射的多集分裂等式公共不动点问题；(4) 我们证明了基于Mann方法的迭代算法弱收敛于具直接算子的分裂公共不动点问题；(5) 我们获得了具半压缩映射和拟非扩张映射的分裂公共不动点问题的一些循环迭代程序的强收敛定理；(6) 我们结合粘性逼近方法构造了一个新的平行算法来逼近具半压缩映射的多集分裂公共不动点问题，得到了强收敛性结果,并且我们将算法进行了数值实验；(7) 我们找出了非凸集框架下的分裂等式不动点问题和一致近似正规集上的投影算子之间的关系，给出了一些算法的收敛性分析。在本项目的资助下我们成员又申请到了国家自然科学基金一项，参与了国家自然科学基金一项；受本项目资助发表SCI论文11篇。