随机最大值原理和倒向随机微分方程在保险风险理论中的应用研究

This project intends to study several stochastic optimization problems for (non-Markovian) insurance risk models with random parameters by using stochastic maximum principles and backward stochastic differential equations. We first characterize the market price of risk by an affine diffusion factor process and then study the mean-variance reinsurance and investment problem. Secondly, we further study a kind of time inconsistent optimal control problems for insurers and discuss the uniqueness of the equilibrium strategy. Finally, we study the optimal reinsurance and investment problem from the perspectives of both an insurer and a reinsurer in the framework of a Stackelberg game (i.e., a Leader-Follower game) and assume that the reinsurer and the insurer are the leader and the follower of the game, respectively. Stackelberg game is perfect for characterizing the unequal power of the two parties in the insurance market. All the problems considered in this project are new subjects in stochastic control, finance and insurance. The study of these problems not only enriches the contents of backward stochastic differential equations, but also promotes the development of other theories such as stochastic optimal control, mathematical finance and actuarial science.

本项目拟利用随机最大值原理和倒向随机微分方程理论深入研究(非马氏)随机参数保险模型下的若干随机优化问题。我们首先利用仿射扩散模型来刻画市场的风险价格过程，进而研究该市场模型下保险人的均值-方差再保险与投资问题；其次，我们将进一步研究时间不一致性偏好下保险人的最优决策问题并探讨均衡策略的唯一性；最后，我们将同时考虑保险人和再保险人的利益，在Stackelberg博弈(即，Leader-Follower博弈)框架下研究最优再保险与投资问题，其中再保险人是博弈的领导者，而保险人是追随者。Stackelberg博弈模型的引入可以完美刻画保险人和再保险人在保险市场中地位的不对称性。该项目的研究内容是金融保险和随机控制领域的最新课题，它不仅可以丰富倒向随机微分方程的相关结果，同时也将极大促进随机控制、数理金融与精算等其他理论的发展。

随着金融全球化进程的加快，以及某些突发性公共卫生事件的发生，金融风险日趋复杂和多样化。因此，如何对金融、保险市场中的各类风险进行有效建模，以便能够应对最坏情形下的风险成为金融保险行业亟待解决的问题。本项目利用随机过程、随机分析、倒向随机微分方程等理论深入探讨了几类金融、保险风险模型下的随机最优控制以及债券定价等相关问题。主要解决了四类问题：（1）马尔科夫机制转换模型是非马氏机制转换模型的特例，本项目基于非马氏机制转换模型，解决了随机时间准则下保险人的均值-方差资产负债管理问题；解决了带约束的时间不一致均值-方差投资与风险控制策略问题，通过倒向随机微分方程的解给出了时间一致的均衡策略。（2）在随机波动率模型下，当金融市场的风险价格依赖于仿射扩散模型时，利用随机二次控制理论和倒向随机微分方程解决了最优再保险与投资策略问题；当保险人具有两类相互依赖的保险业务，即在相依风险模型下，解决了带有非卖空约束条件的最优再保险与投资组合问题。（3）当风险资产的回报率受到OU过程调控时，分别在独立风险模型和相依风险模型下解决了保险人的最优再保险与投资问题。（4）利用等价鞅定价原理解决了自激励随机利率模型下的债券定价问题。本项目的系列研究不仅丰富了倒向随机微分方程与随机控制等理论的相关结果，同时也拓展了它们在数理金融与保险精算等领域的应用。