辐射流体力学方程组的适定性问题

The mathematical studies of the equations of radiation hydrodynamics are one of the hot and difficult issues in the field of PDEs in recent years. This project focuses on well-posedness, regularity, large-time behavior of the solution, Rayleigh-Taylor instability and limit problems of these PDEs, including global well-posedness, the optimal decay of the solution and Rayleigh-Taylor instability in several fluids of different densities for the equations of multidimensional radiation hydrodynamics which are a Euler-Boltzmann coupled system, and global well-posedness, Rayleigh-Taylor instability and limit problems, then the associated analysis of initial and boundary layers for these limit problems for the equations of multidimensional radiation hydrodynamics which are a Navier-Stokes-Boltzmann coupled system. These problems originate from practical problems with strong physical background and introduce many essential mathematical theoretical problems, having high scientific interest and close connections to applied scientific branches.

辐射流体力学方程组的数学理论研究是近年来偏微分方程领域研究的热点和重难点问题之一。本项目主要围绕辐射流体力学方程组的适定性、正则性、解的长时间行为以及该方程组的Rayleigh-Taylor不稳定性和粘性消失极限问题展开，重点研究高维无粘辐射流体力学方程组小初值整体解适定性和最优衰减率，以及不同介质中辐射流体力学方程组的 Rayleigh-Taylor不稳定性；研究高维带粘性的辐射流体力学方程组的整体适定性和 Rayleigh-Taylor 不稳定性；研究高维带粘性的辐射流体力学方程组当粘性系数趋于零时的极限问题，以及由这些极限问题所产生的初始层、边界层数学理论分析。所研究内容来源于实际物理问题，具有很强的应用背景，在数学上具有重要的理论意义，且紧密联系应用科学, 具有很强的科学价值和应用价值。

本项目主要研究了流体力学方程及相关模型的数学理论问题，特别关注这些模型的适定性、正则性、解的长时间行为和粘性消失极限等理论。经过三年的研究，本项目主要建立了: (1) Boussinesq-MHD方程组大初值整体解的适定性、正则性和衰减率; (2) 热等离子体中的磁场Zakharov方程组当离子声速趋于无穷时的极限模型, 即磁场薛定谔方程组小初值整体光滑解的存在唯一性和最优衰减率; (3) 非等温液晶模型方程组初边值问题小初值整体强解的存在唯一性; (4) 一维可压缩 Navier-Stokes 方程组内流问题的粘性激波，建立了具有大密度扰动解的适定性和长时间行为; (5) 粘性消去法在各种各样偏微分方程中的应用等。这些结果的取得较好的完成了项目申请书提出的问题，必将为后续的深入研究提供必要的前期研究基础。这些结果目前已经在 Journal of Differential Equations, Discrete and Continuous Dynamical Systems-Series S, Acta Mathematicae Applicatae Sinica-English Series等主流学术期刊上公开发表。