适应于一类与时间相关的线性与非线性反问题的区域分解方法

In this proposal, we would like to propose several new domain decomposition methods (DDMs) for solving some important time-dependent linear and nonlinear inverse problems, and analyze the convergence of the algorithms. Firstly, we will use some Tikhonov regularizations to transform the inverse problems into stabilized nonlinear minimizations, and then propose several new and direct DDMs for dealing with the nonlinear minimization systems. We hope these algorithms will meet the nice properties of DDMs: at each iteration of the procedure only smaller minimizations are required over sub-domains and easy to make parallel computation with high efficiency; at the same time, for some given accuracy, the number of outer iterations will be not clearly dependent on the size of meshes and time steps. We will implement the proposed algorithms on high performance supercomputers and improve them according to the numerical results. We will also analyze the convergence of the algorithms and hope to get good convergence results. Finally, we hope to apply the proposed algorithms to some more complicate inverse problems, such as the parameters to be identified are highly discontinuous or singular, so as to give some convenience for dealing with some ill-posed inverse problems arise from engineering and industry fields.

在本项目中，我们将研究求解一类与时间相关的线性与非线性反问题的区域分解算法，并分析其收敛性。首先，我们将采用一种稳定和有效的Tikhonov正则化方法将这些不适定的反问题转化为一个稳定的非线性优化系统，然后提出一些新型的、直接的区域分解算法去处理该非线性优化系统。我们希望设计的这些算法将能够体现出区域分解方法的良好性质：在每次迭代中都是在子区域内求解更小的优化系统，易于并行并且具有良好的并行效果；同时对于某个给定的精度，整体外迭代次数几乎不明显依赖于有限元网格的大小及时间步长。我们将会在大型并行计算机上实现设计的算法，通过数值实验再改善这些算法。我们也将会对设计的这些算法进行收敛性分析，希望能够得到相应的收敛性结果。最后，我们希望能把这些设计的算法应用到更多更复杂的反问题的求解，例如待识别参数具有强间断性或强奇异性的情形，以利于处理工程和工业应用领域中出现的反问题。

在本项目中，我们研究了求解椭圆型和抛物型方程中的多种线性与非线性反问题的区域分解算法，并且验证了其收敛性。. 对于线性反问题，我们研究了识别椭圆型方程中的源场强度及部分边界上的热流函数和抛物型方程中的初始值。首先，我们采用了稳定和有效的Tikhonov正则化方法将这些不适定的反问题转化为一个稳定的非线性优化系统，然后提出了一些新型的、直接的区域分解算法去处理该非线性优化系统。用区域分解方法求解反问题最困难的问题之一是正问题模型的解全局依赖于待识别的参数，也就是说即使只需要局部更新参数，但是仍然需要全局求解正问题，因此并没有真正减少全局计算。我们设计的算法克服了这个困难，仅仅需要计算每个子区域内的局部正问题及其对偶问题。大量的数值结果表明这些算法是稳定、有效的，特别地，算法的收敛性接近最优，当网格步长减小时外部迭代次数几乎稳定或者增长很慢。. 对于非线性反问题，我们设计了几种有效的重叠区域分解算法重构椭圆型和抛物型方程中的Robin系数。由于Robin反问题是非线性的，Tikhonov正则化方法将会产生一个非凸的优化系统，我们先应用Levenberg-Marquardt方法将此非凸的优化系统转化成为凸优化系统，并且论证了其二阶收敛的。然后，我们设计了类似于求解线性反问题的重叠区域分解算法去求解该凸优化问题。这些算法经数值计算验证也是非常稳定、有效的：只需要在每个子区域内计算局部正问题及其对偶问题，并且当网格步长减小时外部迭代次数也几乎稳定或者增长很慢。. 同时，我们还研究了单个和多个耦合双曲型方程以及时间分数阶对流扩散方程中的一些反源问题。通过分别采用内部部分数据观测和终端时刻全局观测，我们证明了反源问题的稳定性或弱唯一连续性。最后，我们设计了一些替代函数算法去求这些识别问题，大大减少了计算量。