半光滑牛顿方法求解抛物型方程中带稀疏约束反问题的收敛性分析及数值实现

In this proposal, we would like to apply the semi-smooth Newton type methods to solve some linear and nonlinear inverse problems with sparse constraints in parabolic equations, and study their convergence and numerical simulations. Because of the sparsity of the identified parameters, we shall transform the related inverse problems into non-differentiable and stable minimizations by using combined L1-L2 or L1-H1 regularization method, which are very challenging to be analyzed due to the non-differentiability of the L1 norm. By introducing the concepts of slantly differentiable and slanting function in infinite-dimensional functional spaces, we shall focus on the convergence analysis of the semi-smooth Newton methods by applying the primal-dual active set strategy for this kind of non-differentiable minimizations. This project will make an important contribution to the convergence analysis of the semi-smooth Newton type methods for inverse problems with sparse constraints in parabolic equations, which has not yet been studied widely. We shall also develop some fast and stable numerical methods to deal with the nonlinear couple systems formulated in the application of the primal-dual active set strategy, and do a large number of numerical simulations.

在本项目中，我们将应用半光滑牛顿类型的方法求解抛物型方程中带稀疏约束的线性与非线性反问题，并且分析其收敛性及进行数值模拟。由于考虑的待识别物理量具有稀疏性，我们将采用组合的L1-L2或者L1-H1正则化方法将所研究的反问题转化成为不可微的稳定的优化系统，而L1正则化项的不可微性使得求解这些优化系统非常具有挑战性。通过引入无穷维泛函空间中斜可微和斜函数的概念，我们将重点研究应用原始-对偶有效集策略的半光滑牛顿方法求解这类不可微优化问题的收敛性。对于半光滑牛顿类型的方法求解抛物型方程中带稀疏约束反问题的收敛性分析的研究还很少，本项目将对此做出重要的贡献。我们也将设计出快速、稳定的数值计算方法处理应用原始-对偶有效集策略形成的非线性耦合系统，并且进行大量的数值模拟。

近几十年来，稀疏重构在信号处理、图像处理、统计学、反问题等诸多领域越来越受到人们的广泛关注。在本项目中，我们研究了椭圆型和抛物型方程中反演带稀疏约束的热流函数和Robin系数问题。我们采用组合的L2-L1正则化方法将这些反问题转化成为不可微的优化问题，然后通过一个新的辅助条件形成耦合系统。我们设计了一个原始--对偶有效集方法求解这些耦合系统，证明了这个方法等价于一个半光滑牛顿方法，并且进一步证明了该方法求解线性热流反问题的局部超线性收敛性，以及在合理的小的残量假设下，求解非线性Robin反问题的局部超线性收敛性。大量的数值实验结果验证了收敛性理论。. 同时，对于Tikhonov正则化方法求解椭圆型和抛物型方程中反系数问题的收敛率，我们提出了可以被严格证明的变分源条件，摆脱了以往文献中无法验证的小条件，得到了反位势函数和Robin系数的收敛率。对于含时变阶数分数阶扩散方程中反问题的数学理论分析，由于拉普拉斯变换技巧无法应用，因而对其研究还很少。我们发展了新的研究方法，证明了含时变阶数分数阶扩散方程中反演势函数的唯一性。对于求解椭圆型和抛物型方程中反演Robin系数的其他快速算法，我们证明了Levenberg-Marquardt迭代方法的二次收敛性；设计了重叠的区域分解算法，只需要在每个子区域内计算局部正问题及其对偶问题，解决了正问题模型系统的解全局依赖于待识别参数的这个难点；建立了缩减基函数方法求解分片常数的椭圆Robin反问题，大大减少了每次迭代中求解正问题的时间。