上半平面上的高阶复偏微分方程的若干Dirichlet问题

本项目主要研究上半平面上的高阶复偏微分方程的若干Dirichlet边值问题，计划研究包括上半平面上的多调和Dirichlet问题，齐次和非齐次高阶复混合偏微分方程的若干类带Dirichlet条件的边值问题。此项研究是经典复分析中上半平面上的Dirichlet问题在高阶复偏微分方程情形的推广，是目前关于复分析边值问题研究一个较为活跃的方向。 此项研究的主要工具是多解析和多调和函数的分解定理。

多调和函数的Dirichlet问题及相关问题是近年来边值问题研究的一个热点，它是复分析中经典的调和函数Dirichlet问题在多调和情形推广，主要包括单位圆盘和上半平面两种情形。本项目研究上半平面上的高阶复偏微分方程的Dirichlet问题，主要考虑多调和方程及其相关方程，给出其在不同边值条件下Dirichlet问题的积分表示解。通过利用多调和和多解析函数的分解定理，构造了上半平面上经典的Schwarz（或Poisson）核的高阶类似物（我们称其为高阶Schwarz（或Poisson）核）。定义以该类核为核函数的积分算子，研究了这种积分算子的可微性。利用这些积分算子，给出了上半平面上带Lp边值的多调和Dirichlet问题的积分表示解。这两个在项目申请书所拟的关键问题（高阶Schwarz（或Poisson）核和积分算子的可微性）已经完成，以此为研究内容的一篇论文“Lp polyharmonic Dirichlet problems in regular domains II: The upper half plane” 发表在Journal of Differential Equations上（vol.252 (2012), 1789-1812）。有关非齐次多调和问题及混合复偏微分Model方程的相关研究仍在进行中。