关于Lp多调和边值问题的若干研究

In recent years, there were a great deal of activities on boundary value problems for higher order partial differential equations satisfied by polyanalytic, polyharmonic and meta-analytic functions etc.. The problems involve.Dirichlet, Neumann, Riemann, Hilbert, Schwarz, Robin, oblique derivative and some mixed problems, and the main object is to obtain integral representation solutions of the boundary value problems with various boundary data. In this research project, we will mainly study some boundary value problems with Lp boundary data for polyharmonic functions on regular (such as unit ball etc.) and irregular (such as Lipschitz etc.) domains, which include Dirichlet, Neumann, Robin, oblique derivative problems and a class of mixed (i.e., Zaremba) problem. By higher order Poisson kernels for the regular domains, together with the theory of layer potentials, we will try to give the integral representation solutions of the corresponding polyharmonic Dirichlet, Neumann, Robin, oblique derivative and Zaremba problems. The theory of integral representations for polyharmonic functions is the higher order generalization to the one for harmonic functions.

近些年来，出现了大量关于多解析、多调和及亚解析函数等满足的高阶偏微分方程边值问题的研究，包括Dirichlet, Neumann, Riemann, Hilbert，Schwarz, Robin、斜导数和各种混合边值问题等, 主要目标是在满足不同的边值条件下获得问题的积分表示解。本项目将主要研究规则（如单位球等）和非规则区域（Lipschitz区域等）上若干带Lp边值的关于多调和函数的边值问题，主要包括Dirichlet，Neumann, Robin ，斜导数和一类混合（或Zaremba）边值问题。通过研究相应区域上的高阶Poisson核（Poisson核的高阶类似物），并结合层位势理论，给出相应的多调和Dirichlet, Neumann, Robin ，斜导数和Zaremba问题的积分表示解。多调和函数的积分表示理论是经典位势理论中的调和函数积分表示理论在高阶情形的推广。

众所周知，经典位势理论中，三类边值问题是极其重要的，它们分别是调和Dirichlet、Neumann和Robin问题。调和方程作为二阶椭圆偏微分方程的原型或模型方程，无论研究的内容和方法上，其边值问题的研究决定着二阶椭圆边值问题的研究，譬如，极值原理、Harnack 不等式，Perron-Wiener-Brelot方法等等。由于二阶椭圆边值问题（包括调和边值问题）具有很好的正性，且因为给定的边值条件较少，其研究已经得到充分的发展且达到了较好理解并令人满意的水平。然而，高阶椭圆偏微分方程的边值问题却不是如此，尽管其研究历史也很悠久，可以追溯到一百多年前甚至更早。相比于二阶椭圆边值问题，其研究结果并不多见于文献，且结果零星、分散并不成体系。因为正性的缺失，可预设的边值较多，对于二阶椭圆边值问题研究性质有效的方法不再适用于高阶椭圆边值问题的情形。因此发展高阶椭圆偏微分方程的边值问题理论是一个极具意义和充满挑战的研究课题。正如二阶椭圆方程边值问题的研究始于调和边值问题，高阶椭圆偏微分方程边值问题的研究一定意义下也应该始于多调和边值问题的研究（至少对于偶数阶高阶椭圆偏微分方程如此）。.. 本项目主要针对多调和方程，研究了正则型区域（如上半平面）和非光滑区域（如C1， Lipschitz区域）上带Lp边值的齐次和非齐次多调和边值问题，包括Dirichlet问题，Neumann问题，正则性问题和Robin问题，它们分别是相应的经典调和边值问题在多调和情形的推广。 本质的研究方法是层位势方法，主要的工具是现代调和分析的一些技术。研究结果发展了多调和边值问题求解的层位势技术，对经典调和边值问题的一些理论进行了高阶情形的推广。