基于薄板奇异问题求解的Daubechies条件小波法研究

小波理论是20世纪80年代出现的一个新兴数学分支。在结构数值计算领域，Daubechies小波在解决诸如应力大梯度等奇异问题中具有明显的优势，因此，基于该小波函数的小波数值计算方法近年来一直受到国内外学者的高度重视。但直到目前为止，小波数值计算理论还很不完善，尤其是Daubechies小波在应用中存在着联系系数计算精度不高、位移转换矩阵奇异、高阶消失矩基函数和高精度小尺度函数空间难以应用等方面的困难。本研究以求解结构工程中常见的薄板应力大梯度等奇异问题为目的，以传统Ritz法和Galerkin法为主要手段，将小波分析的多分辨思想与条件变分、广义变分原理相结合，克服上述缺陷，利用Daubechies小波所特有的"显微"性、紧支性和正交性，构造出可用于薄板奇异问题分析的、可快速计算收敛的全求解域和分域求解的条件小波有限元法，为应力大梯度等工程奇异问题的高精度、高效率求解提供强有力的计算手段。

本研究以求解结构工程中常见的薄板应力大梯度等奇异问题为目的，以MATLAB7.0为基础开发平台，针对二维平面（薄板）问题中Daubechies小波联系系数计算中所存在的问题，提出了能提高联系系数计算精度的有效方法，并对该方法的实用性及有效性进行了验证；计算出具有不同用途的Daubechies小波联系系数，拓展了Daubechies小波有限元法在求解二维平面问题上的应用空间；利用Daubechies小波所特有的“显微”性、紧支性和正交性，构建出基于条件变分和广义变分原理的用于求解二维平面问题的Daubechies条件小波法。以薄板弯曲问题为例，在四边固支条件下，该方法挠度计算结果与理论解相同，内力相对误差为0.216%。本课题的研究成果为应力大梯度等工程奇异问题的高精度、高效率求解提供了强有力的计算手段。