无限元方法中转移矩阵的计算

在应用无限元方法解偏微分方程外问题时，需要解如下特殊形式的二次矩阵方程：A^tX^2+KX+A=0，以获得这个方程满足某些条件的一个特殊解- - 转移矩阵，不同类型的微分方程的外问题需要计算不同的转移矩阵。本项目主要研究这些转移矩阵的特性和它快速有效的计算。通过分析了解转移矩阵所满足的二次矩阵方程及其导出的物理和离散背景，研究这个二次矩阵方程的系数矩阵和它的特殊解即转移矩阵所具有的特殊结构和性质，运用矩阵分析、计算的技巧，设计能充分开发、利用这些特殊结构和性质的、快速高效、数值稳定的算法获取这些转移矩阵。预期本项目的研究成果，特别是获得的数值方法,应能促进对无限元方法的研究，而且能丰富对非线性矩阵方程及其数值方法的研究。

本项目已基本结束。三年来，我们按照项目的计划，研究应用无限元方法解偏微分方程外问题时需要解的一个特殊形式的二次矩阵方程：A^t X^2+KX+A=0，以获得这个方程满足某些条件的一个特殊解- - 转移矩阵。我们仔细研究了这个矩阵方程的解的特殊结构和性质，无限元方法中的原有的计算方法，也精心设计了几个可行的、有效的算法，包括子空间投影类算法和doubling 类算法，通过数值实验与原来无限元方法中的算法进行比较。遗憾的是：新设计的这些算法有些比原来的算法好一点，有些还差一点。因此，我们的文章分量不足以投稿发表。但是，尽管本项目的研究成果没有达到预期的研究目标，我们在相关的方程解法、特征值计算等领域有不少的收获。三年来, 我们在国际、国内的著名学术刊物上发表了有关学术论文20篇, 其中包括SC I 索引的文章12篇。我们参加了十余次国际、国内会议，组织了一次国际暑期学校，一次中型的学术会议。而在人才培养方面, 三年来，我们有四位博士生, 八位硕士生毕业获得了学位, 还有一位博士生完成了学位论文即将答辩。现有在读的博士生5人（包括一个来自巴基斯坦的博士生，一个博士生公派意大利联合培养项目）, 硕士生9人。