约束四元数矩阵方程的计算

The problems of solving quaternion matrix equations and the corresponding least squares problems have been a hot topic in the field of quaternion matrix theory, and have been wildly applied in many fields such as quantum mechanics, computer graphics, spacecraft attitude control, mechanics of rigid body, etc. The key issue solved by this project is the fast algorithms for quaternion matrix equation problems and the corresponding least squares problems(QMLSP) and QMLSP with single constraint. The fast algorithms under special conditions will be proposed by using cyclic matrix and the FFT algorithm. Inspired by the classical iterative in real number field, we will propound the fast algorithms for QMLSP and QMLSP with single constraint. Meanwhile, we will attempt to derive the fast algorithms for QMLSP and QMLSP with single constraint directly based on the operations of quaternion. The FFT algorithm is used first to solve QMLSP. Operator will be applied for the first time to represent a general quaternion matrix equation or the constraint in this project. Through which we will propose fast algorithms for solving the most general form of QMLSP and QMLSP with single constraint. We will also analyse the effectiveness and reliability of the given algorithms, and make a comprehensive comparison between the obtained algorithms and relevant existed algorithms. The accomplishment of this project can greatly enrich and improve the algorithms for QMLSP and QMLSP with single constraint.

四元数矩阵方程在量子力学、计算机图形学、航天器姿态控制等领域有着深厚的理论背景和广泛的应用前景，四元数矩阵方程(最小二乘)问题(QMLSP)的研究是目前四元数矩阵理论研究的热点问题。本项目主要研究求解QMLSP和单约束QMLSP的快速算法：利用循环矩阵技术，引入FFT算法研究特殊条件下求解QMLSP的快速算法；基于实数域上的经典算法研究求解QMLSP和单约束QMLSP的算法；直接基于四元数运算来研究求解QMLSP和单约束QMLSP的快速算法。本项目首次引入FFT算法求解QMLSP，并首次用算子表示一般形式的四元数矩阵方程和约束条件，把对QMLSP和单约束QMLSP的研究推广到最一般的情形，给出求解QMLSP和单约束QMLSP的适应面更广的稳定、快速算法。同时对算法的有效性、可靠性进行分析，并与现有相关算法进行综合比较。本项目的研究成果将大大丰富和完善QMLSP和单约束QMLSP的算法。

本项目主要研究了求解四元数矩阵方程(最小二乘)问题、单约束四元数矩阵方程(最小二乘)问题，以及耦合四元数矩阵方程组问题的算法。.在四元数矩阵方程(最小二乘)问题中，研究了Sylvester矩阵方程，Stein矩阵方程和广义Sylvester矩阵方程这三类具有广泛应用背景的相容四元数矩阵方程，得到了求解上述矩阵方程的算法；当上述三类矩阵方程不相容时，给出了计算其最小二乘解的算法；在此基础上得到了求解一般形式四元数矩阵方程(最小二乘)问题的算法。.在单约束四元数矩阵方程(最小二乘)问题中，分别研究了上述三类四元数矩阵方程的对称、反对称、Hermitian解问题：在相容的前提下，给出了计算其对称解、反对称解和Hermitian解的算法；当上述三类单约束矩阵方程不相容时，得到了计算其最小二乘对称解、最小二乘反对称解及最小二乘Hermitian解的算法。将约束条件进行进一步推广，引入算子约束的表示形式，得到了求解一般形式的单约束四元数矩阵方程(最小二乘)问题的算法。.在耦合四元数矩阵方程组问题中，首先研究了含有一个未知矩阵的耦合四元数矩阵方程组，给出了其一般解和对称约束解、反对称约束解的求解算法。然后研究了含有两个未知矩阵的耦合四元数矩阵方程组，给出了一般解和约束解的求解算法，其中对两个未知矩阵的约束可以是同类约束，也可以是异类约束。随后借助于前面引入的算子形式，给出了计算耦合四元数矩阵方程组问题一般解的算法和计算耦合四元数矩阵方程组约束解的算法。.本项目对所得算法的收敛性和计算复杂性进行了分析，并利用Matlab软件与现有的相关算法进行了综合比较。本项目的研究成果丰富和完善了(约束)四元数矩阵方程(最小二乘)问题的算法。