高铁二次特征值问题及其相关一些方程的数值方法研究

High speed railway is an important content of our country "One Belt And One Road" strategy. The fast train quadratic eigenvalue problem arises from a finite element model for analysis of the vibration of high speed trains, it is a so-called palindromic quadratic eigenvalue problem whose coefficient matrices have special structures. The solution of the structrued palindromic quadratic eigenvalue problem is closely related to some special solution of a nonlinear matrix equation. In this project, we will first focus our efforts on studying how to solve high efficiently the structured palindromic quadratic eigenvalue problem and the related nonlinear matrix equations with widely applications in other areas. We will apply theories, mehods and technologies of matrix analysis and decomposition and subspace dimension reduction, utilize properties of matrix polynomial and fast algorithms of strucutred matrices, exploit fully the special structures and sparse of the coefficient matrices that the problems or equations have, design scientifically numerical stable algorithms with less cost, high precision. Based on the above study, we will then focus our efforts on studying numerical methods for higher order palindromic eigenvalue problems and some related structured linear systems.

高铁是我国“一带一路”战略的一个重要内容。高铁二次特征值问题源于高速列车震动分析的一个有限元模型，是一个系数矩阵具有特殊结构的所谓回文二次特征值问题。这个结构回文二次特征值问题的解和一个非线性矩阵方程的某个特殊解密切相关。在本项目，我们首先将注意力集中在研究如何高效地解这个结构回文二次特征值问题，以及和其相关的、在其它领域也有广泛应用的非线性矩阵方程。我们将运用矩阵分析、分解和子空间降维等理论、方法和技术，利用矩阵多项式的性质和结构矩阵的快速算法，充分挖掘所要研究的问题或方程的系数矩阵的特殊结构以及稀疏性，科学地设计花费小，精度高，数值稳定的算法。在此基础上，我们然后将注意力转向研究更高阶的回文特征值问题和一些有关的结构线性方程组的数值方法。

高铁是我国“一带一路”战略的一个重要内容。高铁二次特征值问题 源于高速列车震动分析的一个有限元模型，是一个系数矩阵稀疏而有特殊结构的所谓回文二次特征值问题（PQEP）。本项目的主要研究内容是：如何高效地数值解这个高铁PQEP及其相关一些方程。我们完满完成了本项目的最主要的研究目标：我们设计了一个能够最大限度地利用这个高铁PQEP的系数矩阵的结构稀疏性，特别是特殊的复对称，块三对角，块Toeplitz以及块回文结构的快速算法。算法的理论基础是我们在高铁PQEP和一个由它的子块矩阵构成的 k × k PQEP之间建立了联系，不需要额外的工作量。借助这一联系，我们构造了一个非常完美的快速算法：先解这个k × k PQEP，然后用它们的特征对来还原原始的高铁 n × n PQEP的特征对。 我们也做了能最大限度地保留PQEP所有稀疏、特殊结构的向后误差分析。成果发表在SIAM J Sci. Comput. 上，并被载入2018年出版的SIAM专著《Structure-Preserving Doubling Algorithms for Nonlinear Matrix Equations》。. 本项目其他的成果包括：一些系数矩阵有某些结构的线性方程组的数值方法，以及一些矩阵数值特征不等式改进的结果。