马氏过程及交叉领域的新探索

围绕与马氏过程相关的若干核心问题，致力于发展马氏过程的理论与方法，向其他的数学分支学科交叉渗透，并应用于排队论及传输问题等应用基础研究。研究内容包括：发展分析与概率工具给出马氏过程稳定性的各种定量估计；通过研究黎曼流形上的随机分析, 刻画热半群的性质与几何量之间的关系从而应用于几何分析的研究；研究带交互作用的粒子系统与测度值过程及其在统计物理和生物遗传学中的应用；通过研究马氏过程的对偶理论使用简单过程来刻画复杂的过程, 以便将关于简单情形的有关结果推广到更一般情形；使用马氏过程的理论和研究成果，研究排队网络问题；通过发展耦合方法研究随机偏微分方程半群的正则性(强Feller性、梯度估计、Harnack不等式等)，并研究带跳带具奇异系数的随机偏微分方程。

五年中, 围绕若干核心问题，我们发展了马氏过程的理论与方法。既应用于排队论及传输问题等应用基础研究，也与其他的数学分支学科交叉渗透。主要研究内容包括：发展了分析与概率工具，给出了多种马氏过程稳定性的各种定量估计，从Poincaré型不等式过渡到Hardy 型不等式，从无位势拓展到带位势情形；在带边Riemann流形上引入新的几何量，它既包含Ricci曲率的信息又反映边界的凹凸性，统一刻画反射扩散过程的各种性质；在路径空间上建立泛函不等式以及反射扩散过程分布的传输不等式，它们是刻画路径空间上无穷维扩散过程性质的重要工具；发展变测度耦合方法并结合Malliavin分析对于多种随机偏微分方程建立导数公式、分部积分公式和Harnack不等式，并应用于相应半群的梯度估计、热核估计以及各种压缩的研究；建立的一类由Gauss噪声和Poisson噪声驱动的随机积分方程，已经成为连续状态分枝过程的主要方法之一，也成为某些相关研究的有效工具；得到了有限跳幅及带型上随机环境中随机游动的内蕴分枝结构，应用这一基础工具，进一步研究了随机环境中随机游动的局部时极限, 以及Lamperti随机游动的局部时及其平稳分布的性质。.我们组织了7次国际学术会议，以本项目的科研成果为基础，共完成专著2部，2篇专著中章节，发表论文110篇，其中研究生独立完成10篇。