无限维李双代数与可解李代数的若干问题

双代数理论是量子群理论的基本内容，它与Yang-Baxter方程的解有着内在的联系，随着对无限维李代数研究的不断深入，有关无限维李双代数的问题越来越受到人们的重视，本项目着重在以下几个方面进行探索：一、我们在考虑无限维李双代数的结构的基础上，探讨无限维李双代数的对偶李双代数结构。二、由于无限维李代数的量子化与无限维李双代数的结构有着密切的关系，在这方面，我们在研究无限维李代数量子化的同时，着重考虑量子化意义下的推广形式-无限维李代数的同态形变，以及Hom-李代数的结构及其表示。三、大家知道，半单李代数的理论已相对完美，相比之下，可解李代数和幂零李代数的研究有待深入，由于可解李代数和幂零李代数的结构远比半单李代数复杂，而且没有一个统一的切实可行的方法对它们进行研究，因此，在这方面还有大量的问题还没有解决，本项目在这方面重点研究目标是：带有非退化不变对称双线性型的可解与幂零李代数的结构。

本项目作了如下工作:给出了形变的Witt代数的单性判别的充要条件，作为该条件的应用，给出了Hom-李代数单性判别的充要条件；证明了Weyl代数的$\sigma$-形变结构同构于由Ore extension 得到的Weyl代数的形变结构；与$\sigma$-形变紧密相连的，给出了多项式代数与洛朗多项式代数的$\sigma$导子的结构，以及系数在Weyl代数上的一般线性李代数的2-上循环群的结构；给出了Witt型，Virasoro型Lie双代数的对偶Lie双代数的结构，刻画了多项式代数与洛朗多项式代数的对偶代数的结构; 与辛几何密切相关的，给出了Poisson Lie双代数的对偶代数的结构。在可解Lie代数方面，给出了具有最大秩的非退化可解Lie代数的同构实现，并揭示了它与Kac-Moody代数之间的密切联系。