一类新的连分数动力系统的研究

In 2003, famous mathematician Schweiger defined a class of new continued fractions(GCF) transforms (see[Sc1]). In 2008, the applicant obtained some arithmetic and metric properties of GCF. In 2010,Shen and Zhou deduced a series of random properties for GCF using the results of the applicant. Recently, we determined the Hausdorff dimensions of some GCF exceptional sets, and found that they have some relations with similar sets of regular continued fractions(RCF), whch are worthy of further study. The project intends to make more study on GCF dynamical systems: (1) Study the algebra and geometric meanings of GCF, deduce more arithmetic and metric properties of GCF, to complete the theoretical system of GCF. (2) Widely research on fractal dimensions and dimension functions of exceptional sets in GCF, including the attractors with infinite iteration branchs generated by GCF dynamical systems, such as Jarnik sets, Good sets, Hirst sets and the recurrence sets of GCF dynamical systems. etc, which are silimar with RCF's, (3) Explore the internal relations between GCF and RCF, to provide some new ideas, methods and techniques for research and application on general continued fractions dynamical systems.

2003年, 著名数学家Schweiger定义了一类新的连分数（GCF）变换，见[Sc1]。2008年，本项目申请人获得了GCF的一些运算和度量性质。2010年，Shen和Zhou应用这些性质导出了GCF的一系列随机性质。最近我们又确定了一些GCF例外集的Hausdorff维数，发现其与正规连分数的类似集之间存在值得进一步探讨的关系。 本项目拟在此基础上进一步研究GCF动力系统：（1）研究GCF的代数意义和几何意义，推导GCF的更多运算性质和度量性质，以完善GCF的理论体系；（2）广泛研究GCF的各种例外集的分形维数及量纲函数，包括类似于正规连分数的Jarnik集、Good集、Hirst集以及GCF动力系统的常返集等具有无穷多迭代分枝的动力系统生成的吸引子；（3）揭示GCF与正规连分数之间的内在关系，为一般连分数动力系统的研究与应用提供新的思想、方法和技巧。

最著名的、产生递增序列的运算是Engel级数。2002年，一类产生递增序列的连分数运算（简记为ECF）也被推出。研究表明：ECF展式中的随机性质几乎完全相同于Engel级数。针对有人提出是否所有产生递增序列的变换都具有同样的行为方式的疑问，Fritz Schweiger定义了一类产生递增序列的、含有一个可调参函数ε(k)的GCF_ε变换，并发现：ε(k)的不同选择有可能导致GCF_ε展式的随机性质发生变化。在本项目中，我们继续研究GCF_ε展式的各项性质及其与参函数ε(k)之间的变化规律，主要成果有：.i . 将参数函数划分为四类，分别描绘了对应每一种GCF变换的图形。以此直观展示了该变换在四种参函数下所拥有的不同的几何性状与特征。.ii. 导出了GCF_ε展式的众多运算性质及递推关系式，为GCF_ε的进一步研究提供便利。.iii.获得GCF展式在ε(k)=ck^τ(k+1)情况下的一系列度量性质。.iv. 确定了多类GCF_ε例外集（包括一些由GCF_ε表达的Jarnik集、Hirst集等由无穷迭代函数系生成的吸引子）的Hauddorff维数。.v. 对应不同的参函数ε(k)， GCF_ε展式的不同逼近性质被分别导出，从而一类GCF_ε集合的不同维数被依次确定。.vi. 在参函数满足-1<ε(k) ≤1与ε(k)=ck^τ(k+1)的情况下，由GCF_ε的数字序列{k_i}_{i∈N}构成的随机变量所满足的多类概率性质被证明。.由于参函数ε(k)是满足不等式ε(k) > -k-1的任意实值函数，意味着GCF_ε系统包含广泛、可极大丰富一维动力系统的内涵，它的应用将为我们提供更多的动态解决各类科学问题的方法与策略。