代数K-理论中与Tame核相关的问题的研究

This project will study some related problems about tame kernels in algebraic K-theory. Specifically, we will study the following topics: (1) Research on tame kernels of number fields. We will study the p-rank of tame kernels of quadratic fields and cyclotomic fields, we will also study the relations between tame kernels of some number fields and that of their subfields.; (2) Research on the application of algebraic K-theory in algebraic number theory. Through investigating some relations between tame kernels and class groups, we will establish some new results about class numbers. We will also study the value of zeta function by using the algebraic K-Groups; (3) Research on densities of tame kernels in K-theory. We will study densities of tame kernels of quadratic fields and cubic fields. We will generalize Cohen-Lenstra conjecture in function fields to algebraic K-Group. The applicants have rich research experience in this area, and have obtained some good results.

本项目主要研究代数K-理论中与Tame核相关的一些问题，主要内容包括： (1)代数数域的Tame核结构的研究，本项目将继续深入的研究二次域和分圆域的Tame核的p-rank公式，并且研究一些数域与其子域的Tame核之间的关系；(2）代数K-理论在代数数论中的应用，本项目将揭示Tame核与类群之间的新的联系，从而得到关于类数的新的结果，并通过代数K群来研究zeta函数的取值。（3）代数K-理论中的密度问题的研究，本项目将重点研究二次域和三次域的Tame核的密度，以及将函数域上的Cohen-Lenstra猜想推广到代数K群上来。项目申请人具备扎实的研究基础，已经在这些问题的研究上取得了一定的成果。

代数整数环是代数数论研究中的一个重要对象，对其算术性质的研究是代数数论研究中的核心问题。作为当代数学的前沿课题之一，研究代数K-理论和代数数论之间相互渗透的一些问题受到了学术界的广泛关注。而其中，利用代数整数环上的K群，尤其是K2群来研究代数数论中的有关问题又是一个颇受重视的课题。. 在代数数域的Tame核结构的研究方面，我们在之前研究五次循环域的tame核的结构的基础上，我们又研究了一类循环域的合成域的tame核，证明了这类数域的tame核的p部分就等于其所有的循环子域的tame核的p部分的直和,并且用我们的方法，可以将底域推广到任意的tame核的p部分为平凡的全实可交换的数域K。近期，我们对纯五次域的tame核的结构的研究也取得了一定的进展，得到了一些新的结果。我们运用反射定理计算了纯五次域的tame核的5-rank。. 在代数K-理论在代数数论中的应用方面，我们研究了包含p次单位根的一类数域L，我们运用反射定理研究了L及其子域的理想类群的p部分以及这些数域的单位群的p部分之间的关系，并且利用该结果，证明了数域F的tame核的p部分与跟F相关的一些数域的理想类群的p部分之间的关系。