一维动力系统的统计性及维数理论的研究

The main objectives in one-dimensional complex (or real ) dynamics are iterations of rational functions on Riemann sphere (or continuous functions on interval or circumference ). It is one of the most important fields in morden mathematics. Besides the fruitful research content in this area, it also provides method and idea for high dimensional dynamics. In this project, we are interested in statistical properties and the dimension theory of one-dimensional real or complex dynamical systems. First, we will study the existence and statistical properties of an invariant probability measure with respect to geometric reference measures for a real or complex one-dimensional map satisfying some weak hyperbolicity assumptions. Secondly, we hope to prove that for a smooth interval map satisfying some weak hyperbolicity assumptions, the Hausdorff dimension、the box dimension and the hyperbolic dimension of the Julia set are equal. Finally, we also hope to give some characterizations of dimension theory (especially, multifractal analysis) for one-dimensional dynamical systems. Through these studies, we hope that we know more difference and relationships betwee fractal properties and dynamic properties of Julia sets of one-dimensional real and complex dynamic systems, and also hope that we can better understand the statistical properties and dimension theory for one-dimensional dynamical systems.

一维复(或实)动力系统主要研究黎曼球面上的有理函数(或区间、圆周上的连续函数)的迭代，是现代数学研究的主要热点方向之一，除了自身丰富的研究内涵外，也可为高维系统的研究提供方法和思路。本申请项目将研究一维实或复动力系统的统计学性质和维数理论。首先，我们希望讨论系统在较弱的非一致双曲性条件下(关于某个几何参考测度)绝对连续不变测度的存在性和统计性；其次我们希望证明光滑区间映射具有一定非一致双曲性条件时，Julia集的 Hausdorff 维数、盒维数、双曲维数等均相等；最后，我们还希望对一维动力系统的维数理论(特别是多重分形分析)给出一些刻画描述。希望通过上述研究，能够对一维实和复动力系统的 Julia 集的分形性质和动力学性质的区别和联系有更新认识；能够更好地了解一维动力系统的统计学性质和维数理论。

本项目主要研究了一维动力系统的统计性质和分形维数等方面的相关问题，我们按照项目计划书有序的开展了研究工作，取得了较好的研究成果，得到的主要结果如下：首先，我们研究了[0，1]区间上的具有间断点的非一致双曲系统—Intermittent映射，并考察了其上的Holder连续势函数，给出了Holder势函数具有唯一的满足指数混合性质的平衡态的一个充要条件，也即Holder势函数满足其拓扑压大于其在中性不动点0处的函数值；并基于此结果，我们也得到了当Holder指数比较大时的每一个势函数都具有唯一的一个满足指数混合性的平衡态。其次，研究了平移曲面的非遍历方向的点集的Hausdorff维数的相关问题，证明了如果X是具有两个分支值的标准平坦环面的亏格为二的二重覆盖曲面，并且分支值满足一定的条件，则X的非遍历方向的点集的Hausdorff维数满足二分性质，也即其Hausdorff维数要么为0，要么为1/2；并且也给出了取得这两个可能的确切的判断依据。