差填充集及其在信息科学中的应用

This project will investigate sets of difference packings with special properties, including sets of difference packings with almost uniform difference and partitioned difference families. These sets of difference packings can be applied in information science, such as frequency hopping sequences, multilength optical orthogonal codes, constant composition codes and comma-free codes. This project will further improve some effective methods of combinatorics、algebra and number theory, especially group character, generalized cyclotomy, trace function and discrete logarithm, in order to present constructions of sets of difference packings. We also want to present some new infinite classes of partition-type balanced nested cyclic difference packings、2-compatible cyclic difference packings、partitioned difference families and strong external difference families, which lead to new optimal frequency hopping sequence sets, multilength optical orthogonal codes,constant composition codes, and so on.

本项目拟研究具有特殊性质的差填充集的存在性，主要是具有几乎均匀内、外差性质的差填充集和可划分的差族。这些具有特殊性质的差填充集可应用于信息科学中的跳频序列、多长光正交码、常重复合码、无逗点码等热门课题。本项目将进一步推广各种组合、代数和数论的方法，尤其是群特征、广义分圆、迹函数、离散对数等，给出具有特殊性质的差填充集的行之有效的构作方法，并力图构造一些新的具有良好性质的可划分的平衡巢形循环差填充、2-兼容的循环差填充集、可划分差族以及强外差族的无穷类，由此获得更多的最优跳频序列集、多长光正交码、常重复合码等码类。

组合设计是组合数学的一个重要分支，主要研究各种类型的组合结构的存在性、构造方法。序列、编码是编码理论的一个重要分支，和组合设计理论联系紧密。本项目是研究组合设计中一类重要的组合结构---差填充集，它包括平衡巢形循环差填充、可划分差族、强外差族等。平衡巢形循环差填充是由多个满足特殊内、外差性质的循环差填充组成的集族，可用于构造在军事、雷达、自同步等方面有着重要应用的跳频序列，受到国内、外许多学者的深入研究。可划分差族是一类特殊的差族，可用来构造现代通信中有着诸多重要应用的常重复合码和无逗点码，近年来国际上对其研究十分活跃。强外差族是一类特殊的外差族，可用于构造代数探测检测码，受到了一些学者的关注。. 在差填充集及相关课题上，我们得到了下列结果：. 在跳频序列方面：通过利用迹函数、离散对数等工具和几个组合递推构造方法，得到了一批新的严格最优的跳频序列集。. 在强外差族方面：通过利用群特征理论、分圆类、代数数论、域的递降等工具构造了两类新的强外差族，并给出了一些强外差族新的必要条件，由此得到了一些强外差族的不存在性结果。. 在可划分差族方面：通过利用一致分圆类、离散对数、有限几何等工具和组合递推构造给出了一批新的可划分差族。. 在双可分解斯坦纳四元系方面：通过引入特殊双可分解斯坦纳四元系，建立了由它到双可分解斯坦纳四元系的构作方法和特殊双可分解斯坦纳四元系积构作法，得到了一类新的双可分解斯坦纳四元系。. 在码的重量分布方面：通过利用指数为2的Gauss和的结果计算出了一些分圆类的特征和，由此来确定了一些2、3重量的线性码。