相位场模型中若干数学问题的研究

Phase field models are one kind of mathematical models which have many important applications in engineering sciences,physics,chemistry,biology and so on recently. In the last 20 years,dynamical phase field models, coupled with fluid dynamics,have been a class of promising new model to describe interfacial evolution between two immiscible viscous fluids. Mathematical researches on the dynamical phase field models with the coupling to fluid dynamics are still in the embryonic development stage. In this project we study the Hele-Shaw-Cahn-Hilliard(abbr.HSCH) model. Concretely, we focus on the following three problems:firstly, we prove rigorously that the sharp interface (zero width interface)limit of local smooth solutions satisfy Darcy's law and give the convergence rate;secondly,we prove the global weak solutions tend to varifold solutions of the corresponding sharp interface model;lastly, we prove the existence of weak solutions for the HSCH model with a class of singular free energy(logarithmic free energy is a special case) and then discuss the uniqueness,regularity and long-time behavior of the weak solutions.

相位场模型是广泛应用于工程科学、物理、化学、生物等重要研究领域的一种数学模型。近20年来，耦合流体的动力学相位场模型是一种新的极具前景的描述两种不易混合黏性流体之间的界面运动的数学模型。数学上关于耦合流体的动力学相位场模型的研究仍处于初始阶段。本项目主要就Hele-Shaw-Cahn-Hilliard(简称HSCH)模型展开研究。具体地说，一、利用渐近展开的方法严格证明当界面的厚度趋于零时HSCH模型局部光滑解的极限满足Darcy's law，并给出收敛速度的估计；二、证明HSCH模型全局弱解收敛于相应的sharp interface 模型的varifold解；三、证明带有奇异自由能量（对数自由能量是其特殊情形）HSCH 模型弱解的存在性、唯一性、正则性和大时间的渐近性。

该项目主要围绕着薛定谔方程的半经典极限、相位场模型的sharp interface limit、流体力学的边界层等重要问题研究。薛定谔方程的半经典极限问题是量子力学近年来备受关注的问题之一。研究双相流相变现象的相位场模型的sharp interface limit是流体力学中具有挑战性的问题，并且在自然科学和工程领域中有着重要的应用。流体力学的边界层研究是偏微分方程领域中著名的经典问题，一直受到国内外著名数学家的关注。在该项目的资助下，项目负责人、项目参加者和其合作者围绕着上述三个方面问题认真开展研究，主要在薛定谔方程解的集中性、液晶相位场方程的sharp interface limit、Navier-Stokes方程的零粘性极限问题、地下水模型中的奇异极限问题、多孔介质中双相流的sharp interface limit、非线性弹性材料的Riemann问题、奇异积分算子的有界性等七个方面取得了重要的研究成果。研究成果解决了具有紧支集薛定谔方程约束态的集中性、液晶相变极限收敛的严格证明、Navier-Stokes方程的零粘性极限严格收敛到Prandtl方程和Euler方程的解、Darcy-Brinkman-Oberbeck-Boussinesq方程组的初始层和边界层问题、Hele-Shaw-Cahn-Hilliard system方程组的Global sharp interface极限问题等诸多重要问题。 研究成果得到了国内外同行的肯定，促进相关领域的研究进展。