Camassa-Holm型方程和Harry-Dym型方程的动力学性质

The Camassa-Holm type equations and the Harry-Dym type equations describing the nonlinear wave phenomena have wide applications, and have been a very important and challenging topic. This project intends to discuss the existence, bifurcation phenomena, asymptotic behaviors and orbital stability of the special solutions of these two kinds of equations. The purpose of this project is to understand the dynamic behaviors of the Peakon solution and the Compacton solution for these two kinds of equations in the weak sense, and reveal the dynamic mechanisms for the smoothness loss and further demonstrate the evolution process of these special solutions, by means of the qualitative theory of differential equations and the bifurcation method of dynamical systems. Based on the theory of spectrum operator and the abstract theory of stability, we apply the theory of stability of the smooth solitary wave solutions and the smooth periodic wave solutions to study the special solutions of these two kinds of equations. Furthermore, we study the effects of the nonlinear term, the dispersion term and the viscosity term, as well as the wave velocity and the potential energy on the orbital stability of the special solutions, and give the parameter distributions of orbital stability. At the same time, we also illustrate the evolution of stability via the numerical simulations with the Runge-Kutta integration method.

描述非线性波现象的Camassa-Holm型方程与Harry-Dym型方程具有广泛的应用背景，对其深入研究一直是非常重要且具有一定挑战性的课题。本项目拟探讨这两类方程特殊解的存在性，分支现象，渐近行为，以及轨道稳定等动力学性质。本项目拟借助微分方程定性理论与动力系统分支方法来严格理解这两类方程在弱意义下的Peakon解和Compacton解的动力学行为，揭示特殊解失去光滑性的动力学机理以及明晰这些特殊解是如何依赖参数改变而演变的。进一步地，拟采用谱算子知识与稳定性的抽象理论，将光滑孤立波解与光滑周期波解轨道稳定性的理论结果推广至这两类方程的特殊解上。分析非线性项，色散项与粘性项的强度以及波速，位势对特殊解轨道稳定性的影响，并给出特殊解轨道稳定条件下的参数分布。同时借助龙格库塔积分方法，数值模拟特殊解稳定性的演化过程。

对单调的反应扩散系统行波解性质的深入研究一直是非常重要的且具有一定挑战性的课题。这是因为反应扩散方程涉及的大量问题，来自物理学，化学和生物学中，众多的数学模型因而有强烈的实际背景。在这些问题的研究中，对数学也提出了许多挑战性的问题。因此引起越来越多的数学家，物理学家，化学家，生物学家和工程师的注意。本项目基于不同类型的反应扩散方程独特的结构，借助微分方程定性理论、上下解方法、比较原理、计算机模拟等技巧，来研究其行波解的存在性、唯一性与稳定性。特别的，在行波解存在的前提下，讨论行波解的传播速度的最小波速的线性选择与非线性选择问题。在稳定性方面，主要讨论行波解在不同波速条件下的稳定，包括指数稳定性，代数稳定性，加权意义下的指数收敛性。本项目已经揭示了这类型方程的行波解在不同参数条件下的分支现象。给出了行波解的极小波速线性选择机制随着参数变化的演变情况。利用次齐性条件验证行波解的唯一性。并通过对行波解在无穷远处的渐进行为来证明行波解在不同波速条件下的稳定性。对于多种群的反应扩散方程的行波解的研究，我们也将上述的研究方法进行推广。本项目同时借助数值模拟手段，将数值结果与理论结果相比对。