基于量子逻辑门的代数系统的结构研究

Non-classical logic is one of the most active research directions in the field of artificial intelligence. Recently, a class of non-classical logics based on quantum logic gates has been paid more attentions by many researchers. In this project, the non-commutative Lukasiewicz many-valued logic will be applied to the design of quantum logic gates, resulting in the creation of a new logic system. By discussing the algebraic classification and categorical equivalence, the algebraic models of the above new logic system (i.e. quasi-pseudo-MV algebras) will be investigated to clear the relationship of these algebras. The main research contents include three aspects as follows: (1) we will characterize the ideals and congruences on a quasi-pseudo-MV algebra, and establish the one-to-one relationship between normal ideals and ideal congruences; (2) according to the operations, order of an element, and ideals, we will classify all the quasi-pseudo-MV algebras, and investigate the structure properties and relationships of these quasi-pseudo-MV algebras; (3) the sufficient and necessary condition for a quasi-pseudo-MV algebra which is isomorphic to the interval of a non-commutative quasi l-group with a strong unit will be obtained, and then the equivalence between the categories of quasi-pseudo-MV algebras and non-commutative quasi l-groups will be established finally. This study will further promote the development of non-classical logics based on quantum logic gates and provide a new field for the applications of the algebras.

非经典逻辑是人工智能领域最具活力的研究方向之一。目前，一类基于量子逻辑门操作产生的非经典逻辑成为学者们关注的对象。本项目将非交换Lukasiewicz多值逻辑的演算应用于量子逻辑门的设计，以其产生的逻辑系统的代数模型(即拟伪多值代数)为研究对象，以探讨代数分类和范畴等价为主要研究手段，以明晰代数间的关系为基本研究目标，主要研究：(1) 刻画拟伪多值代数的理想和同余，建立正规理想与理想同余之间的一一对应关系；(2) 根据运算性质、元素的阶和理想，对拟伪多值代数进行分类，并讨论这些特殊的拟伪多值代数的结构性质以及相互之间的关系；(3) 给出拟伪多值代数同构于有强单位元的非交换拟格序群的一个区间的充分必要条件, 并建立拟伪多值代数与非交换拟格序群之间的范畴等价关系。本项目的研究工作将会进一步促进基于量子逻辑门的非经典逻辑的发展，并为代数学应用提供新的领域。

本项目致力于用代数逻辑方法对量子计算逻辑这一新兴的非经典逻辑进行研究。在研究中以拟伪多值代数为主要研究对象，通过对其内在和外部结构的探讨来构建这一类非经典逻辑代数的理论框架。其主要研究内容和结果如下：（1）拟伪多值代数的结构性质。讨论了拟伪多值代数的基本性质，研究了拟伪多值代数的直积分解，证明了有强单位元的非交换拟l-群区间是一个拟伪多值代数，探讨了正规理想和理想同余之间的双射关系。（2）拟伪多值代数的分类。根据运算性质分类，主要讨论了交换拟伪多值代数和伪拟多值代数的性质；根据理想分类，重点研究了局部拟伪多值代数、有限局部拟伪多值代数和理想单拟伪多值代数等的性质。（3）拟伪多值代数的等价。提出了拟伪Wajsberg代数，研究了拟伪Wajsberg代数的基本性质，证明了拟伪Wajsberg代数与拟伪多值代数的等价关系。（4）拟伪多值代数的态理论。讨论了拟伪多值代数上态的基本性质和存在性问题，证明了拟伪多值代数上态射和极值态等价，研究了在拟伪多值代数内态和态射算子下理想的性质。（5）伪拟多值代数的研究。讨论了伪拟多值代数的理想和同余间的关系，证明了伪拟多值代数与伪拟Wajsberg代数的等价关系。（6）伪拟多值代数的弱化研究。提出了弱伪拟Wajsberg代数和弱伪拟多值代数的概念，探讨了弱伪拟Wajsberg代数的基本性质，证明了弱伪拟Wajsberg代数与弱伪拟多值代数的等价关系。（7）时态伪多值代数的研究。讨论了时态算子的基本性质，提出了强时态伪多值代数的概念，研究了其滤子的性质。（8）拟多值代数超结构的研究。提出了超拟多值代数，研究了其理想和弱理想，以及它们在超拟多值代数同态下的性质。这些研究成果的取得不仅丰富、深化和发展了基于量子计算逻辑的代数结构研究，构建了拟伪多值代数的理论框架，而且还为进一步探讨量子计算逻辑、模糊逻辑和量子逻辑之间的关系奠定了良好的基础和提供了新的思路。