量子逻辑的代数结构与量子测度理论的研究

Algebraic structure of quantum logics and measure theory on quantum logics are two kinds of fundamental contents in the fields of quantum logics. In this project, on the one hand we will focus on the algebraic structure of effect algebras and non-Archimedean pseudo-effect algebras. On the other hand, we will give the representation of the algebraic structure of the quantum measures on quantum logics. These results will provide the mathematical foundations for the axiomatization of quantum mechanics. First, based on the Greechie diagrams of MV-algebras we will investigate the pasting techniques and internal algebraic properties of lattice-ordered effect algebras. At the same time, using the category theory we will give the relationships between lattice-ordered effect algebras and their sub-MV-algebras. Furthermore, using the Grothendieck fibrations constructions in Topos theory we will elucidate relationships between many valued logics and quantum logics and provide the geometrical model for qantum logics. Second, we will explore the algebraic properties of the lexicographic products of pseudo-effect algebras and partially ordered groups, and describe the internal algebraic structures of non-Archimedean pseudo-effect algebras. Then by using the category theory we will establish the bridge between quantum logics and partially ordered groups, and enrich quantum logics. Third, by means of the algebraic methods we will investigate the non-additive quantum measures which can be used to describe the quantum interference. Based on the relationships between classical measures and quantum measures, we will formulate the algebraic constructions of quantum measures on quantum logics and enhance the mathematical foundations for quantum measure theory.

量子逻辑的代数结构与量子逻辑上的测度理论是量子逻辑领域中两个基本的研究内容. 本项目拟研究效应代数及非阿基米德伪效应代数的结构，并给出量子逻辑上量子测度代数结构的表示，旨在为量子力学的公理化提供数学基础. 第一，利用MV-代数的Greechie图研究格效应代数的粘合技巧及其内部结构，使用范畴论语言给出格效应代数与其MV-子代数之间的关系，借用Topos理论中Grothendieck纤维构造技巧阐明模糊逻辑与量子逻辑之间的关系并建立量子逻辑的几何模型. 第二，通过研究伪效应代数与偏序群字典序乘积的性质，刻画非阿基米德伪效应代数的内部结构，并使用范畴论语言建立量子逻辑与偏序群之间的关系，拓展量子逻辑的研究领域. 第三，用代数方法研究能够描述量子干涉现象的非可加量子测度，通过讨论经典测度与量子测度之间的关系，刻画量子逻辑上的量子测度的代数结构，为量子测度理论奠定数学基础.

效应代数是希尔伯特空间上压缩算子之集的推广，是描述量子系统的可观测量之集的代数结构. 从数学角度讲，观测是物理系统中可观测量之集上的随机变量的推广. 在量子逻辑的研究中，对各种可观测量之集的代数结构与其上的观测的研究一直是重要课题. 从而，效应代数及其上的态的结构一直是量子逻辑研究的主要内容. 本项目研究了效应代数及效应代数上观测的结构并进行了新的探索，为建立量子逻辑几何结构提供了理论基础，为量子力学的公理化奠定了数学基础. 第一，利用MV-代数的Greechie图研究格效应代数的粘合技巧及其内部结构，给出了一些由MV-代数粘合成格效应代数的充分必要条件，使用范畴论语言给出格效应代数与其MV-子代数之间的关系，这进一步阐明了多值逻辑与量子逻辑之间的关系，并为建立量子逻辑的几何模型提供了理论基础及依据. 第二，通过研究伪效应代数与偏序群字典序乘积的性质，比较完整的刻画了非阿基米德伪效应代数的内部结构. 构造出了广义伪效应代数的定向极限及逆极限，证明了具有各种Riesz分解性质的广义伪效应的定向极限仍然具有相应地Riesz分解性质，研究了广义伪效应代数做商及取定向极限这两种运算的可交换性. 建立了量子逻辑与偏序群之间的关系，拓展了量子逻辑的研究领域. 第三，用代数方法研究能够描述量子干涉现象的非可加量子测度，通过讨论经典测度与量子测度之间的关系，刻画了量子逻辑上的量子测度的代数结构. 研究了单调可数完备MV效应代数及分配效应代数上观测的谱的解析性质及代数分解等， 对分配效应代数上观测之和的谱进行了刻画，给出了观测之和的谱的连续性的一个较为简洁充分条件，并给出了观测的谱取得边界的充分必要条件. 证明了分配效应代数上任何有界的观测能唯一分解成一个在Olson序下最大的分明观测与贫的观测之和. 这为量子测度理论奠定了数学基础.