基于Navier方程的非均匀介质弹性波反演结果的误差及其修正方法

Elastic wave inversion is widely used in seismology and the non-destructive evaluation of composites, etc. The Navier equation is commonly used to describe this kind of elastic wave propagation problem in inhomogeneous media and accordingly, one can establish the inverse method. However,recently insurmountable difficulties occurred when people tried to use the Navier equation to design elastic wave steering devices. It conceives that the Willis equation is a proper choice to precisely describe the elastic wave propagation in inhomogeneous media. Unfortuenately, owing to its complexity, the Willis equation can hardly find the application in engineering at present. To solve this problem, this study firstly tries to prove the universality of the Willis equation via the coordinate transformation approach and the design of elastic wave steering devices. If this can be proved, the error estimation between the Navier equation and the Willis equation will be obtained. Based on this, it is possible to discuss the influence of model errors on the elastic wave inversion. Finally, correction algorithms will be established to ensure the reliability of inverse elastic wave results, based on the Navier equation. This study investigates a basic theoretic problem. The expected results would be very helpful for engineering applications.

弹性波反演技术在地震工程和复合材料无损探伤等领域应用非常广泛。对于这类非均匀介质的弹性波动问题，目前普遍采用Navier方程进行描述，并在此基础上建立反演方法。但是最近人们在用Navier方程进行弹性波绕波器件设计时遇到了难以克服的困难，并认为应该采用Willis方程来精确描述非均匀介质中的弹性波动问题。不过，由于Willis方程非常复杂，目前还很难在工程界得到应用。为解决这个问题，本研究试图首先证明Willis方程的普适性，并通过弹性波绕波器件的设计来进一步验证这个结论。若该结论成立，就可以推导Navier方程相对于Willis方程的误差估计。在此基础上再探讨这种控制方程的模型误差对弹性波反演结果所造成的影响。最后，试图建立一些误差修正算法，来保证非均匀介质中基于Navier方程的弹性波反演结果的可靠性。本研究既探讨了一个基础理论问题，其预期结果又会对实际工程应用有很大帮助。

经典的线弹性力学理论假设介质是均匀且没有初应力的。然而现实生活中的很多材料，如复合材料、岩石、功能梯度材料等，都是非均匀的，也必然包含了初应力。在分析非均匀材料时，人们通常只是认为其材料参数是随空间变化的，但仍然采用经典形式的方程。在20世纪80年代初，剑桥大学的Willis教授却指出应该在经典的弹性力学方程中增加一个附加算子才能更精确地描述非均匀材料的力学行为。这些新方程被称之为Willis方程。由于该方程比较复杂而且物理意义不够明确，因此长期没有引起人们广泛的关注。直到2006年，当人们用变换的方法来设计弹性波超材料时，才发现经典的线弹性方程不满足变换的不变性，而Willis方程却具有这样的性质，从而重新唤起了人们对Willis方程的研究兴趣。不过大家对Willis方程的认识才刚刚起步，还面临着很多理论问题，也不清楚该如何应用。. 本课题在Willis方程的研究方面主要取得了如下成果：.1. 证明了任意坐标变换下的形式不变性是波动方程的固有特性，与变换前后场变量之间的关系无关，从而为超材料设计提供了更大的灵活性。.2. 基于Willis方程设计出了完美的平面弹性波旋转器和近似的平面弹性波隐身斗篷。.3. 证明了只有使用Willis方程才能保持弹性波经坐标变换后的等时性。.4. 证明了适用于非均匀材料的精确线弹性力学方程应该包含初应力梯度，并呈现出Willis方程的形式。同时指出该方程既适用于动态问题也适用于准静态问题。. 作为基本的力学理论，Willis方程有很多潜在的应用。比如可以把初应力梯度作为表/界面附近材料不均匀性的一种表征量。当材料尺度较大时，表/界面区域在整个截面上所占的比例很小，初应力梯度对材料的宏观力学性能影响甚微。随着材料尺度的减小，表/界面区域在整个截面上所占的比例也逐渐增加，初应力梯度的影响就会逐渐增大。这时，使用Willis方程就可以自然地描述材料性能的尺度效应。为此，针对板状试件厚度方向的初应力梯度分布，本课题发展了基于超声波信号的反演算法，并开展了实验研究。所得结果可以定性地验证上述想法。但由于不能用其它方法获得试件中厚度方向的初应力分布情况，因此很难给出定量的评估结果。这部分内容将在今后的研究工作中进一步完善。