丛代数的基和广义丛代数的正性

Cluster algebras are related to diverse areas of mathematics, such as quantum groups, Lie theory, algebraic geometry and combinatorics. In the project, we mainly focus on the following three aspects: 1. We will construct “good” bases (the generic basis and the canonical triangular basis) for the affine generalized (quantum) cluster algebras of rank 2, and discuss the generic basis in the quantum cluster algebra of type (1,4). 2.We will prove the Laurent phenomenon of generalized quantum cluster algebras and study the positivity conjecture for the acyclic generalized cluster algebras. 3. We try to find a criterion to determine whether the generalized cluster algebra is the subalgebra of the larger (standard) cluster algebra. We will improve the method of Dyck path and scattering diagram and make using them suitable for generalized cluster algebras. We try to prove the positivity conjecture of the acyclic generalized cluster algebras of rank 3. By the above criterion, we can study the generalized cluster structure on the coordinate rings of some geometric objects and the relationship between cluster algebras and generalized cluster algebras. The project will help to develop the theory of cluster algebras and its related areas.

丛代数理论与量子群、李理论、代数几何和组合数学等许多数学分支有着密切的联系。本项目主要研究以下三方面内容：1.拟构造秩为2的仿射型广义丛代数和广义量子丛代数的具有良好性质的基的表达式，如generic基和三角基，研究(1,4)型量子丛代数的generic基的表达式；2.拟证明仿射型广义量子丛代数的Laurent现象，研究acyclic型广义丛代数的正性猜想；3.建立判断广义丛代数是否是更大的（标准）丛代数的子代数的条件。通过Dyck路和scattering图，得到新方法，使之适用于广义丛代数，力图证明秩为3的acyclic型广义丛代数的正性猜想；通过研究广义丛代数的环论性质寻找判断广义丛代数是否是丛代数的子代数的条件；通过寻找某些几何对象的坐标代数环上的广义丛代数结构，进一步揭示丛代数与广义丛代数之间的联系。该项目将推进丛代数理论及其相关学科方向的发展。

定义丛代数是为了从代数和组合的角度给出一个研究代数群和量子群的典范基的全正性问题的数学框架。丛代数与代数表示论、代数几何、李理论、同调代数和组合数学都有密切的联系。在本项目的支持下，我们主要得到了以下3个方面的结果：(1)我们给出了A^{(2)}_{2}型量子丛代数的所有丛变量的乘法公式，通过乘法公式，我们得到了A^{(2)}_{2}型量子丛代数的三组bar-不变整基的正性，并证明这三组基中有一组基是三角基，一组基是典范基（或称greedy基或原子基）。三角基是量子群的对偶典范基的一部分，通过三角基可以研究对偶典范基。这组三角基是第一种在非平凡赋值箭图上构造出精确表达式的三角基。(2)我们将丛代数的上界和下界的性质推广至广义丛代数，证明在无圈条件下，广义丛代数的标准单项式线性无关；丛代数的上界与代数几何有密切联系，我们证明如果满足无圈和互素的条件，那么广义丛代数的上界和下界相等，由此我们得到了广义丛代数的标准单项式基，从而推广了Berenstein，Fomin 和 Zelevinsky的工作。更进一步的，不需要互素的条件，我们证明了无圈的广义丛代数等于其对应的广义上丛代数，从而推广了Muller的工作。（3）我们证明了广义量子丛代数的Laurent现象，并证明了满足互素条件的广义量子丛代数的上界的选取与初始种子的选取无关。Laurent现象是丛代数最重要的性质。