丛代数的对称性和分解

We study symmetry properties and decompositions of a cluster algebra and its related geometry object and category object. More precisely, we focus on the following three aspects. . In part one, we study the relations between a Grassmannian and the corresponding coordinate ring cluster algebra. In another word, by using the direct relations between the Grassmannian and its coordinate ring（not view as a cluster algebra）, we try to naturally view the cluster automorphism group of a cluster algebra as a subgroup of the automorphism group of its Grassmannian, and describe this injection. . In part two, we study the symmetry properties of a Frobenius category. By using the results of symmetry properties of 2-Calabi-Yau categories and cluster algebras, we try to prove that for the coordinate ring cluster algebra of a Grassmannian and the cluster algebra with universal coefficients, the cluster automorphism groups are isomorphic to the automorphism groups of the corresponding stably 2-Calabi-Yau Frobenius categories which categorify them respectively. . In part three, we define the decomposition of a stably 2-Calabi-Yau Frobenius category by the decomposition of a cluster algebra, and establish the one-to-one correspondence between this decomposition and the decomposition of the cluster algebra which is categorified by the Frobenius category. Finally, for the coordinate ring cluster algebra of a Grassmannian, we define the following three kinds of decomposition: the decomposition of the Grassmannian, the decomposition of the matrix algebra which defines the Frobenius category, the decomposition of the Postnikov arrangement which describes the combinatorial structure of the cluster algebra. Then we will show that above five kinds of decomposition are related to each other.

研究丛代数及相关几何对象和范畴对象的对称性和分解，分为以下三个方面：1. 研究格拉斯曼流形的对称性和它的坐标环丛代数对称性之间的关系，即基于格拉斯曼流形与其坐标环（不看做丛代数）之间的直接联系，找到一种自然的方式将坐标环丛代数的丛自同构群嵌入为格拉斯曼流形的自同构群的子群。2. 研究弗罗贝柳斯范畴的对称性，通过利用关于2-CY三角范畴的对称性和丛代数对称性的已有结果，力图证明对格拉斯曼流形的坐标环丛代数和有限型泛系数丛代数，它们的丛自同构群分别和范畴化它们的稳定2-CY 弗罗贝柳斯范畴的自同构群是同构的。3. 基于丛代数的分解，定义稳定2-CY弗罗贝柳斯范畴的分解，并建立它们分解之间的一一对应关系。进一步，对格拉斯曼流形的坐标环丛代数，定义以下三类分解：格拉斯曼流形的分解，定义弗罗贝柳斯范畴的矩阵代数的分解，以及刻画坐标环组合结构的波斯特尼科夫构造的分解，然后建立上述分解间的关系。

到目前为止，本项目的研究内容和主要结论有以下四部分：1.研究了带系数丛代数的分解和弗罗贝柳斯范畴的分解，基于丛代数的分解，定义了稳定2-CY弗罗贝柳斯范畴的分解，并建立了两种分解之间的一一对应关系。该部分结果可以看作不带系数丛代数的分解和对应的2-CY三角范畴分解之间类似关系的一种推广，强化了丛代数和对应范畴之间的联系。2.研究了带系数丛代数的拟对称性，证明了对有限型丛代数和仿射型丛代数，其拟丛自同构群与其主部分丛代数的丛自同构群是同构的。该结论说明以上两类带系数丛代数的拟对称性和其主部分丛代数的对称性一样多，进而具体地计算出了这些丛代数的拟自同构群。3.研究了格拉斯曼丛代数的带势箭图，证明了它们是刚性的、具有唯一性，并且带势箭图的突变和波斯特尼科夫图的几何变换是相容的，然后利用该结果证明了格拉斯曼丛代数的丛自同构群同构于其对应丛范畴的自等价群。注意到这里的丛代数一般都不是无圈的，从而该结论说明丛代数的对称性和丛范畴对称性一样多这个论断具有一般性，不只是对无圈丛代数成立，为最终证实该论断提供了新的支撑。4.研究了格拉斯曼丛代数和A型的量子仿射代数，定义了杨图的特征，将其实现为丛代数中的元素，特别地，以此实现了所有的丛单项式。通过以上刻画，我们给出了量子仿射代数包络代数的有限维模的非递归的q-特征，从而建立了丛代数和量子仿射代数之间的关系。该研究建立了格拉斯曼丛代数和量子仿射代数包络代数表示范畴之间的关系，为两者的研究提供了新思路，使得我们可以利用其中一边的性质研究和刻画另外一边的性质。