平均场理论框架下量子物理系统的模型约化及保结构算法研究

The theory of geometric mechanics can be used for low-dimensional model reduction of dynamical system. And the reduced system model is helpful to study the essential characteristics of the dynamical system. The research in this field has been greatly developed, and there are some preliminary applications. So it is the most appropriate to design the structure-preserving algorithms based on the reduced system model because of its innate character and complexity. In order to solve the quantum-physical computation problems, such as, Bose-Einstein condensation system, Heisenberg ferromagnet equations, within the framework of the mean field theory, we will study their structure-preserving model reduction theory, low-dimensional model description and the corresponding properties. Based on their reduced model, we will also study their structure-preserving algorithms and the related issues. At the same time, we’ll reduce their models, and construct the corresponding structure-preserving algorithms based on direct sum decomposition of the direct product space between the configuration space of the system and the symmetry group, using Lie group integration methods. Then we’ll discuss how to reduce the amount of calculation, to improve the efficiency of the algorithms. We will try to develop a set of united theory of low-dimensional model reduction and structure-preserving computation of the quantum-physical systems, and provide the theory and method for solving the corresponding computation problems. And then we’ll give the error estimation of the algorithms, analyze their stability and the dynamical invariance of original system. Finally we’ll discuss the macroscopic quantum effect, geometric topology structure and spin texture of the original system, study their formation mechanism and realize their corresponding manipulation.

几何力学理论可用于系统模型的降维约化，且约化的模型更利于研究原系统的本质特性，这方面的研究已得到很大的发展，并有初步的应用。鉴于保结构算法的本质及复杂性，基于约化模型开展其研究工作是最恰当的。本项目拟在平均场理论框架下针对玻色-爱因斯坦凝聚系统、海森堡铁磁链方程等量子物理计算问题，研究保持其几何性质的模型约化理论及其低维系统的描述及性质；基于约化模型研究其保结构算法及相关理论；同时基于李群积分方法的思想，在系统的位形空间与对称性群的直积空间的直和分解基础上约化系统模型并构造其保结构算法；基于约化模型讨论减少计算量、提高算法效率问题。力图发展一套程式化的量子物理系统的模型约化及保结构计算的理论体系，为相关的量子物理计算提供理论和方法。并对算法进行误差估计和稳定性分析，对系统的动力学不变量进行误差分析。深入研究系统的宏观量子效应、几何拓扑结构和自旋纹理，研究其形成机制，并实现相应的操控。

量子物理系统常常具有某种或多种复杂的几何特性，将复杂系统约化成低维系统是很自然的选择，可以很好地把握系统的精细结构、分叉特征等。本项目研究了保持原量子物理系统的定性性质的模型约化及相应的保结构算法。在平均场理论框架下针对玻色-爱因斯坦凝聚（BEC）系统、海森堡铁磁链方程等量子物理计算问题，研究了不同的模型约化方法，并基于Magnus展开方法等李群方法给出其相应的保结构算法。基于约化模型，研究了多组分BEC问题的数值计算方法。并将保结构算法应用于求解几类两组分BEC系统的动力学问题，研究了其基态属性、动力学特征及其渐近性质。两组份的化学势和有效势垒相互平衡，得到了三种具不同对称性的基态结构。同时得到了具不同对称性的三种自旋纹理：环状的Skyrmion结构, 同轴双环Skyrmion结构, 和同轴三环Skyrmion结构。后两种自旋结构是新的结构，尚未见报道。对于系统处于外部微扰下的动力学行为，我们发现新的自旋结构在外部的微扰较弱时是稳定的。这种稳定的自旋结构在不久的将来定可以在试验中实现。另外研究了两个含磁偶极相互作用的BEC间的干涉现象。发现影响干涉图案分布的因素主要包括：磁偶极作用与接触相互作用的相对强度、发生干涉的凝聚体之间的初始相位差和各自中心位置的初始距离。并提出了用干涉的办法去测量涡旋偶极子在凝聚体中的运动轨迹，从而为进一步分析研究涡旋偶极子的动力学行为提供可靠的技术手段。在Lagrange体系下基于对不同系统模型的适当分裂和约化提出了求解非线性动力学方程的变分方法、广义Runge-Kutta谱方法和一类改进的指数型Runge-Kutta方法。提出了非线性Schrodinger方程的RKMK型李群积分方法。应用分离变量法分别求解了包含克尔型、饱和型以及五次非线性效应的Schrodinger方程的定态解。应用Adomian分解法给出了横向非周期调制的五次非线性Schrodinger方程的精确孤子解。分析了基于三个腔三方基频纠缠态的纠缠特性，计算了相关谱参数对腔的初始压缩因子、泵浦功率、传输系数和归一化分析频率的依赖性质，这种多体纠缠态的频率转换可以应用于量子通信网络。