求解时间分数阶偏微分方程自适应移动网格方法

时间分数阶偏微分方程在信号处理、最优控制、电磁学、动力学等领域都有重要的应用。近几年，这类方程逐渐成为众多学者研究的热点。在很多情况下，时间分数阶偏微分程解的性质表现出局部奇异，且奇异性质或位置随时间变化，事先无法预知，固定网格上的数值方法已不能对其进行有效的求解。在此情形下，需要使用自适应方法进行数值模拟。自适应方法是当前流行的求解"未知奇异"问题的有效方法，它包含r-方法，h-方法和p-方法。本项目将研究使用r-方法（也称为移动网格方法）求解时间分数阶偏微分方程，主要包含两方面内容：1、构造求解线性时间分数阶偏微分方程的移动网格方法，并得到方法的稳定性和收敛性；2、使用所研究的移动网格方法对时间分数阶偏微分方程中的奇异问题进行有效的数值模拟，其中我们将重点对某些非线性方程的爆破解进行数值模拟。

时间分数阶反应扩散方程在具有分形结构的多孔介质传质传热问题中有重要的应用，本项目首次研究了求解时间分数阶偏微分方程移动网格算法，并对相关爆破类问题进行了数值模拟，对一些相关问题和方法进行了研究。具体工作包含：.1、设计了一种移动网格方法求解时间分数阶Fokker-Planck方程，并对相关爆破类问题进行了模拟；.2、设计了一种移动网格方法求解一种时间分数阶偏微分方程，理论证明了方法的稳定性和收敛性，并对相关爆破类问题进行了模拟；.3、对KDV问题中的爆破解问题，研究了网格选取方法，并对相关爆破类问题进行了模拟；4、使用有限元方法求解时间分数阶偏微分方程，并得到了最优收敛阶的理论分析；.5、对分区移动网格算法理论证明了稳定性和收敛性。