超对称可积系统的对称分类与离散化

本项目主要从广义对称和离散化的角度探讨超对称可积方程。一方面，我们将以存在高阶广义对称为基础，导出经典孤立子系统的可积超对称形式，并对超对称的可积方程系统地加以分类。期望由此给出一些重要孤立子系统超对称化，进而通过扩展经典的孤立子理论研究这些方程的可积性质。另一方面，我们将研究超对称方程的半离散和全离散问题。

本项目研究的内容涉及超对称可积系统理论和经典可积系统理论两个方面。对于超对称可积系统，借助于superconformal变换，我们成功地将reciprocal变换推广到超对称可积系统，并研究了它诸多方面的应用。特别地，我们构造了Brunelli-Das-Popowicz的N=1超Harry Dym方程的双Hamiltonian结构，导出了一个超对称的Kawamoto方程并建立了它与超对称Sawada-Kotera方程之间的联系，构造了新的超对称Harry Dym方程。我们还探讨了N=2超对称reciprocal变换， 用此研究了N=2超对称KdV和超对称Harry Dym方程之间的联系。另外，我们用对称方法研究了某些特殊类型（微分多项式形式）的超对称方程，得到了新的KdV类型及Harry Dym类型的可积方程。. 对于经典可积系统，我们建立了两个重要的物理模型 --- 耦合DNLS方程和长波-短波相互作用模型各自的Darboux变换，给出了多孤子解的表达式。我们提出了广义Darboux变换的概念，并由此构造了NLS方程的高阶rogue波解。