半无界退化抛物系统的参数识别问题的最优控制与数值模拟

This project studies the parameter-identification problems for degenerate parabolic equations in semi-infinite domain. These kinds of problems have important applications in many fields of applied science, such as population prediction and control, porous media fluid mechanics, climate evolution and financial derivative pricing,etc. Compared with other parameter inversion problems, there are two main features for the project: (1) the principle coefficient of the equation degenerates into zero on the left boundary; (2) the domain is semi-infinite. The degeneracy of the coefficient may cause the boundary condition missing, while the unboundedness of the domain may bring essential difficulties for the numerical computation of the inverse problem. Common computation methods, such as the finite element method and the finite difference method, can not be directly applied to obtain the numerical solutions of these kinds of problems. Our work can be divided into two parts. In the theoretical part, we will study the uniqueness of the solution for the inverse problem. Correspondingly, on the basis of Tikhonov regularization framework, the existence, uniqueness, stability and convergence for the solution of the optimal control problem will be considered. In the numerical part, the numerical solution for the forward problem will be obtained by the artificial boundary method and the finite difference method. Then, we will design iteration algorithms for the inverse problem, perform numerical experiments and do error analysis.

本项目研究一类半无界退化抛物型方程的参数识别问题。此类问题在人口预测与控制，多孔介质流体力学，气候演化，以及金融衍生产品定价等许多应用科学领域有重要意义。相对于其他参数反演问题，本项目有两个主要特点：（1）方程的主项系数在左边界处退化为零；（2）定解域是半无界的。系数的退化性会导致边界条件的缺失，而定解域的无界性则会给反问题的数值求解带来本质性困难，通常的计算方法，如有限元方法和有限差分方法都不能直接应用于数值求解这类问题。我们的研究主要分为理论和数值计算两个方面。理论方面：研究反问题的解的唯一性，以及基于Tikhonov正则化理论框架下的最优控制问题解的存在性，唯一性，稳定性和收敛性；数值计算方面：首先利用人工边界方法及有限差分方法求正问题的数值解，进而设计迭代算法求反问题的数值解，进行数值试验，并作误差分析。

本项目主要研究一类半无界退化抛物型方程的参数识别问题。此类问题在人口预测与控制，多孔介质流体力学，气候演化，以及金融衍生产品定价等许多应用科学领域有重要意义。相对于其他参数反演问题，本项目有两个主要特点：（1）方程的主项系数在左边界处退化为零；（2）定解域是半无界的。系数的退化性会导致边界条件的缺失，而定解域的无界性则会给反问题的数值求解带来本质性困难，通常的计算方法，如有限元方法和有限差分方法都不能直接应用于数值求解这类问题。..理论部分：我们首先利用偏微分方程理论讨论了正问题的解的存在性，唯一性和正则性。由于反问题的不适定性，我们利用优化方法将原问题转化为一个最优控制问题，并建立了正则化解的存在性，必要条件和稳定性。关于最优解的收敛性，基于极小元所满足的必要条件与方程本身，我们提出了一个新的源项条件，该条件建立了极小元与原问题的解之间的联系，利用逐项估计，最终证明解的收敛性，并给出正则化参数的选择方式。..数值部分：正问题的数值求解主要采用人工边界方法结合有限差分方法，我们构造了恰当的差分格式，并利用离散能量估计方法得到了差分格式的稳定性与收敛性。反问题的数值求解主要基于共轭梯度方法和Amijo型算法，我们对两种算法都进行了数值实验，并给出了典型的具体算例。数值结果表明我们的算法是快速而稳定的，未知参数的重构效果令人满意。..除了以上内容，我们还研究了其他一些反问题：（1）有界域上的二阶退化抛物型方程的反源问题；（2）利用某个固定方向上的终端观测数据重构二阶抛物型方程的零阶项系数的反问题；（3）同时反演经典热传导方程的初值和源项系数；（4）期权定价中与时间相关的隐含波动率的重构问题；（5）利用终端数据重构二阶退化抛物型方程的初值系数；（6）利用终端数据重构椭圆-抛物耦合系统的扩散系数；（7）利用某个时刻的温度分布值重构旋转体的几何形状。这些问题对本项目的研究有很好的启示效果。