非线性双曲守恒律和补偿列紧理论

The existence of weak solution of the hyperbolic conservation laws stems from the shock wave phenomenon in high-velocity current. The research.of incontinuous solution has been one of the main topics in this field. There are two main methods to obtain a weak solution for a given hyperbolic system. One is the Glimm's scheme method and other is the compensated compactness method. In this project, we will apply for the compensated compactness method to study the system of isoentropic gas dynamics with general pressure function, the system of elasticity, nonlinear wave equation, the nonlinear Euler equation, the general hyperbolic system with a source term and the resonant hyperbolic system. For a given nonlinear hyperbolic system, since the shock wave, in general, will appear in a finite time, we will use the difference scheme to approximate the system or to add a viscosity term to the right hand side of the original system. In this project, a basic new idea is to use a sequence of hyperbolic systems with good regularity to approximate a hyperbolic system with bad regularity. Through the study of the convergence of these approximated systems to obtain a solution of the original system. This idea has been used by the main applicant of this project to some different problems and is hopeful to obtain more results after this project is finished.

双曲守恒律弱解的存在性问题源于高速气流产生的冲激波现象，其中不具有连续性解的存在性研究一直是该领域的一个重要研究课题。确定双曲守恒方程（组）广义解的存在性有Glimm差分法和补偿列紧理论两种方法。本项目使用后一方法研究对一般压力函数的等熵气体动力学方程组，弹性力学方程组、波动方程以及欧拉方程组广义解的存在性，具有流函数扰动情形的一般非线性双曲方程组广义解的存在性以及具有共鸣现象的各类非线性双曲方程组广义解的存在性。对于非线性双曲方程组，由于解在有限时间里出现间断，函数的导数失去意义。在研究广义弱解过程中，为了利用原有的双曲方程组所提供的信息，两种可行的方法是把方程离散化或在双曲方程组右边引入抛物粘性项。本项目试图用具有较好特性的双曲方程组序列去逼近性质较弱的双曲方程组。这一思想是新的，而且在某些特殊的问题上己被我们证明是有效的。希望通过本项目的研究为上述所列问题开辟一个新的研究途径。

改进推广了补偿列紧理论已有框架，并将这一理论首次成功应用到一类多个方程的双曲守恒方程组上。该成果被杂志Journal of Functional Analysis以及杂志SIAM J. Math. Anal. 发表。 审稿人认为文章中的证明方法是新颖和优雅的（novel and elegant）。在文章里我们提出了一些新的思想来推广应用由世界著名数学家Tartar, DiPerna, Lions (菲尔兹奖得主)发明、发展的补偿列紧理论。在2014年申报浙江省高等学校“钱江学者”特聘教授时专家对文章的评论是：“陆云光在这几篇文章中（JFA两篇, SIAM杂志一篇), 发现了一类具有任意方程个数的双曲方程组其粘性逼近解对空间变量导数的可积性可用来代替传统方法中的熵-熵流对, 从而巧妙地直接利用Curl-Div 引理证明了这类具有任意方程个数的双曲方程组广义解存在性。这是一个非常有意义的发现。我们知道，利用著名的Glimm方法对一般的(加某些限制)具有任意方程个数的双曲方程组我们可得到其解的全变差有界估计。这些有界估计比陆云光文中所需要的粘性逼近解的对空间变量导数的可积性要强很多, 由此我们可以相信如果花力气能够发现一些新的技术对双曲方程组的粘性逼近解作出一些新的界的估计, 陆云光这几篇文章中关于补偿列紧理论框架性的工作可被用来解决更一般的任意方程个数的双曲方程组。这会为任意方程个数的双曲方程组的研究开避一个新的方向”。