应用科学中的拟流体动力学模型渐近机制研究

本项目主要研究来源于应用科学领域的拟流体动力学模型的适定性以及小尺度渐近极限问题，小尺度极限问题揭示了不同模型之间的内在联系，包括双极Euler-Poisson方程组的拟中性极限问题，能量输运模型的大始值问题和零张弛极限问题；量子能量输运模型解的适定性以及零张弛极限、半经典极限等渐近机制问题。对双极Euler-Poisson方程组的拟中性极限问题，由于解的强振荡而使得理论研究上难度很大，通过克服由初始速度与电场产生的奇异振荡，使得极限方程是(不)可压的Euler方程；利用调整能量方法，构造自由熵泛函、Galerkin方法等来研究能量输运模型的零张弛极限问题以及量子能量输运模型的零张弛极限、半经典极限问题，，进一步揭示能量输运模型与经典的漂移扩散模型之间以及量子模型与经典模型之间的联系与各自的适用范围。

本项目按计划研究了来源于应用科学领域（流体动力学、半导体材料科学）的拟流体动力学模型的多尺度渐近机制。利用渐近展开和能量估计方法严格证明了高维等熵和非等熵Euler-Poisson方程组的拟中性极限，我们首次在数学上严格证明了双流体Euler -Poisson方程组到可压Euler方程组的收敛性，在等离子体物理中著名的“双流不稳定性”问题方面取得了重要进展；对完全非等熵Navier-Stokes-Poisson方程组变分弱解的拟中性与零质量混合极限问题，运用相对熵方法，我们从数学上严格证明完全非等熵Navier-Stokes-Poisson方程组的变分弱解收敛到不可压的Navier-Stokes方程组的强解并得到了相应的收敛速率；我们从数学上严格证明了当拟中性极限与非相对论极限以同样的速度趋于零时，在初始层出现之前，非等熵Euler-Maxwell方程组收敛到不可压Euler方程；对Euler-Maxwell方程组的动量松弛时间极限，利用双曲型方程组基本理论以及Maxwell迭代技巧等方法，当动量松弛时间趋于零时，我们证明了非等熵Euler-Maxwell方程组收敛到经典 (离子与电子) 的漂移扩散模型, 等熵Euler-Maxwell方程组收敛到单个粒子的漂移扩散模型；我们通过建立精细的Strichartz估计等方法，证明了低正则Soblev空间下Klein-Gordon-Schrödinger方程组的整体存在性以及有限能量解的整体存在唯一性。这些研究内容不仅是国内外应用数学家和物理学家广泛关注、具有前沿性的研究热点，而且紧密联系应用科学和工程技术, 有广泛的应用前景和重要理论意义的研究课题。我们针对上述内容开展相关问题的研究, 在数学理论方面取得了若干成果，在国内外学术刊物上已发表学术论文12篇，其中SCI收录10篇，另JDE接收发表论文1篇（2013年3月出版），比较圆满地实现了本项目的预期目标。