几类延迟常（偏）微分方程的数值Neimark-Sacker分支问题研究

Delay (partial) differential equations (DDE,DPDE) have been widely applied in many fields of science. In these equations, only a few special types can be solved explicitly, therefore it is necessary to construct appropriate numerical methods. The proper numerical method that can maintain with the nature of the original system is the most practical valuable. Therefore, in this thesis different numerical schemes are applied to study Neimark-Sacker bifurcation in several types of delay (partial) differential equation. We will study the following research contents: 1) By nonstandard finite difference (NSFD) trapezoidal method, for delay differential equations we discuss the discrete bifurcation. And we will contrast to the results of nonstandard finite difference method or the trapezoidal method. 2) We will construct to appropriate difference methods to process constant and nonconstant steady-state solutions of the delay partial differential equations , especially according to nonstandard finite difference method .The thesis will be further extended to study the bifurcation behavior of the delay (partial) differential equations through different numerical methods. At the same time, these numerical methods will be applied to more biological models.

延迟常（偏）微分方程被广泛的应用于众多的科学领域，其中只有很少数特殊方程可以显式求解出来，发展适用的数值方法去求解这类方程是非常必要的。应用合适的数值方法保持原来系统的性质才最具有实用价值。本课题以此为出发点，对几个延迟常（偏）微分方程系统应用不同的数值方法研究其保持分支行为（Neimark-Sacker分支）。本课题主要研究内容如下：1）针对延迟常微分方程应用非标准有限差分方法和梯形法相结合讨论其保持分支行为（Neimark-Sacker分支），由此对比单纯的非标准有限差分法或梯形法的结果。2）针对延迟偏微分方程，构造合适的差分方法，特别是非标准有限差分方法处理延迟偏微分方程的常值和非常值稳态解Neimark-Sacker分支问题。本课题的完成将更深入的扩展对于数值方法研究延迟常（偏）微分方程保持分支的行为。同时应用的数值方法将应用于更多的生物模型。

本项目主要研究了几类延迟常微分方程和延迟偏微分方程的Neimark-Sacker分支问题，针对不同的方程应用不同的数值方法，研究其性质。具体研究结果如下：1) 应用非标准有限差分法结合θ−方法研究了血红细胞生存模型，得到了数值离散情况下稳定的结果；2）构造了延迟Nicholson果蝇方程的Neimark-Sacker分支的混合控制算法和延迟神经网模型的时间反馈控制算法；3）研究了带延迟的Dirichlet边界条件下反应扩散的食物极限偏微分方程模型，不同的差分模式下给出了Neimark-Sacker 分支的存在性。根据得到的理论，我们可以应用到一般的延迟常微分和偏微分方程模型中，通过数值解的动力学行为解释一些具体现象。