四元数矩阵方程组的几类特殊解及解的极秩研究

Matrix equation is an important research direction in matrix algebra, it has important applications in mechanics, control theory and other fields. Considering the multiply-noncommutativity of quaternion and its wide applictions in theoretical mechanics and color image processing, it is a challeging work to do the research on quaternion matrix equatioin. Based on the similar work of home and abroad, this project will investigate some special solutions to quaternion matrix equations, which have not been investigated. First, derive (anti)reflexive solution, generalized (anti)reflexive solution, R(skew) conjugate solution, RS(skew) conjugate solution to some quaternion matrix equations by equivalent relations between quaternion matrix with special structrue and real(complex) matrix, the corresponding best approximation and least square problems as well as algorithm and numerical examples also discussed. Second, investigate the real and complex solutions to quaternion matrix equations by the real representation of quaternion matrix, the corresponding algorithm and numerical examples are also discussed. Last, derive the maximal and minimal ranks of special solutions to quaternion matrix equation and its applications by matrix rank method. These results will further enrich quaternion matrix algebra.

矩阵方程(组)是矩阵代数中的一个重要的研究方向,其在力学、控制论等领域都有着重要应用。由于四元数除环乘法的非可交换性和四元数在理论力学、彩色图像处理等领域的广泛应用使得在其上研究矩阵方程是一项极富挑战意义的工作。本项目在充分分析国内外同类研究的基础上，将深入地研究几类四元数矩阵方程组的一些特殊解，这些特殊解在四元数体上都尚未被研究过。首先利用具有特殊结构的四元数矩阵到一般实矩阵和复矩阵的等价关系来研究反(反)射解、广义反(反)射解、R(斜)共轭解、RS(斜)共轭解等，并讨论它们的最佳逼近和最小二乘问题，给出求解的算法和数值例子；然后利用四元数矩阵的实表示映射来研究几类四元数矩阵方程组的实数解和复数解并给出算法和数值例子；最后利用矩阵秩方法给出几类四元数矩阵方程组各类特殊解的最大和最小秩及其应用。这些结果对丰富四元数矩阵代数的研究有重要价值。

项目完成情况：项目研究计划中的内容基本都已完成，其中关于几类四元数矩阵方程组Hermitian解和Hermitian反射解及解的极秩的研究结果已经发表，关于共轭解、上述各类特殊解的最小二乘问题及算法和数值例子研究结果正在投稿或撰写中。. 取得成果简单概述：1. 利用矩阵秩方法给出了包含三个和四个矩阵方程的矩阵方程组有Hermitian解的充要条件及通解表达式，论文发表在SCI杂志Journal of Applied Mathematics，作为应用，论文还给出了一个Hermitian Schur补的最大秩和最小秩以及秩的不变性问题。2. 利用矩阵秩方法给出了包含五个矩阵方程的矩阵方程组有Hermitian解的充要条件及通解表达式，并给出了通解的最大秩和最小秩，论文已被SCI杂志Mediterranean Journal of Mathematics接收待发表。这个研究结果包含了五个以下矩阵方程组的大多数情况，是对前人工作很好的一个推广。