高维非线性方程的几类特殊解

Soliton theory is an important part of nonlinear science.It plays a significant role in Physics, Mechanics and Engineering. Soliton theory has developed rapidly since the inverse-scattering method emerging in the 1960s. However, it is always difficult to research on the high-dimensional nonlinear equations. This project is aimed to work on the special solutions of high-dimensional nonlinear mathematical physics equations, including the following three aspects: 1.By using Bell polynomials and Riemann theta function, we study the Backlund transformation and quasi-periodic wave solutions. 2.Through Dirac function and its property, high-dimensional nonlinear equations will be researched to obtain their Peakon solutions in weak sense. 3.Based on the Sato theory and Tau function, we will explore the vertex operator solutions of high-dimensional nonlinear equations. The results of this project will promote the further research and development of Soliton and integrable system, which can provide a mathematical theory for explaining physical phenomenon and solving practical problems.

孤立子理论是非线性科学的重要组成部分，在物理学、力学和工程技术中有着重要应用。自上世纪60年代反散射方法出现之后，孤立子理论得到了快速发展，但高维非线性方程一直是孤立子理论研究中困难部分之一。 本项目主要研究高维非线性数学物理方程的特殊解,主要包括如下三个方面：1.利用Bell多项式和黎曼theta函数研究高维非线性方程Backlund变换和拟周期波解；2.利用狄拉克函数的性质研究高维非线性方程在弱的意义下的Peakon解；3.利用Sato理论和Tau函数研究高维非线性方程的顶点算子解。本项目结果将促进孤立子和可积系统的深入研究和发展，对于解释物理现象和解决实际问题提供数学理论基础。

孤立子理论是非线性科学的重要组成部分，在物理学、力学和工程技术中有着重要应用。自上世纪六十年代反散射方法出现之后，孤立子理论得到了快速发展，但高维非线性方程一直是孤立子理论研究中困难部分之一。 本项目主要研究高维非线性数学物理方程的特殊解及其相关性质,主要包括如下三个方面：①利用Bell多项式和黎曼Theta函数研究高维非线性方程贝克隆变换和拟周期波解；②利用狄拉克函数的性质研究高维非线性方程在弱的意义下的Peakon解；③利用Sato理论和Tau函数研究高维非线性方程的代数结构和顶点算子解。. 在项目的实施过程中，课题组通过四年多的努力，取得的研究进展和主要成果如下： ①利用Bell多项式和黎曼Theta函数研究高维非线性方程的贝克隆变换和拟周期解部分，我们获得了广义Camassa-Holm方程拟周期解。利用Gesztesy和Holden发展的代数几何方法研究了Kadomtsev-Petviashvili方程拟周期解的黎曼Theta函数表示。②Peakon解是非线性方程在弱形式下的尖峰解，由于狄拉克函数的作用，求Peakon解过程中需要对方程本身的结构形式有严格的要求，我们推广Camassa-Holm方程和Degasperis–Procesi方程到超对称情形，研究了与它们相对应的超对称方程Peakon解，分析和模拟了多Peakon解相互作用后的动力学行为。在第③部分，我们取得了获得顶点算子解的初步的研究成果，即研究并获得了离散Lattice方程的Virasorra代数、Tau对称代数结构，这为方程的顶点算子解的研究打下了基础，有待课题组进一步深入研究代数结构间的关系和顶点算子解。 . 以上研究成果的获得将促进孤立子和可积系统的深入研究和发展，对于解释物理现象、模拟物体运动规律和解决实际问题提供有效的数学理论基础。