非线性动力系统拓扑熵的估计以及符号扩张实现

Estimation of topological entropy and symbolic extension realization are the essential problem for theoretical and application reaseach for nonlinear dynamical systems. Symbolic extension is an important tool to understand the complexity of a nonlinear dynamical system while the topological entropy is an important character to measure the complexity of it. However, the theorotical basis for the above two questions is not completed. This proposal will use the grid partition and a dense orbit of the nonlinear dynamical system to obtian a symbolic dynamical system and its transition matrix. However, the grid partition would not be a generating partition for the symbolic system. Then we will rebuid the transition matrix such that it ensures that the grid partition forms a generating partition. Then by using the grid partition and the transition matrix, we built a family of nonlinear maps, which it topological conjugates to the rebuilt symbolic dynamical system. By proving the family of nonlinear maps converges to the original nonlinear map, we can prove that the topological entropys for the symbolic dynamical systems would converge to the topological entropy of the original nonlinear system. Thus the proposal will provide a completed theorotical evidence for estimating the topological entropy by a grid partition for a nonlinear system. This proposal provides will provide a new method, the map approximation method, to analyze the dynamics of the nonlinear system and promote the application of it.

拓扑熵的估计和符号扩张实现是非线性系统理论研究和实际应用中的主要研究课题之一。符号扩张是了解非线性系统复杂性的重要手段，而拓扑熵的估计是度量非线性系统复杂性的重要标准。但是由于方法上的限制，这两方面的工作理论工作还不完备。本项目通过网格分划，应用混沌集的稠密轨道生成一个符号动力系统的转移矩阵。并对该转移矩阵进行一定的修正，使得该符号动力系统成为原系统的一个符号扩张。应用这个分划和已经修正的转移矩阵，构造一个非线性函数族，每个非线性函数和修正的符号动力系统都是拓扑等价的。然后证明这族非线性系统的收敛性，使得非线性系统族收敛到原非线性系统，进而证明符号动力系统的熵收敛到原非线性动力系统的拓扑熵，从理论上证明用网格分划估计非线性系统的拓扑熵的可行性。该项目将为非线性系统的理论研究提供新的方法，并推广非线性系统的应用研究。

本项目研究非线性系统拓扑熵的估计和符号扩张实现问题。 该问题是非线性动力系统的基础理论研究课题。拓扑熵是非线性系统复杂性的的最主要的度量之一，而符号扩张是了解非线性复杂性的重要手段。 本项目通过网格分化给出了一阶非线性系统的符号扩张方法，并对转移矩阵进行修正， 并由此构造出一个新的系统是的该系统是转移矩阵对应的符号系统的符号扩张，而且新系统和原动力系统是拓扑等价的。 因此我们给出了原系统的拓扑熵的估计。 对于二维以上系统， 我们通过寻找不大周期的不稳定周期解，并利用周期解给出系统的一个符号表示， 并证明该符号动力系统的的符号扩张和原系统等价，因此给出了非线性动力系统的拓扑熵估计。本项目提供了非线性动力系统拓扑熵准确估计的可行方法，为了解非线性系统的复杂性提供了新的工具。