欧拉-泊松方程组跨音速课题的若干数学问题

The theory of Euler-Poisson system is widely used in fluid dynamics, plasma dynamics and the design of wind tunnel, engine, aircraft, etc. The research on the well-posedness of its related models is a hot topic in the research of partial differential equations. The project is concentrated on the dynamic stability of multi-solutions of transonic shocks and the well-posedness of the “subsonic-sonic-supersonic-shock-subsonic” flow, multi-dimensional supersonic and smooth transonic flow. Here, how to deal with associated free boundary problem, how to find an appropriate multiplier to get the priori estimate, how to handle with the coupling terms and degenerate cases, are all difficult but important. The applicant and his collaborators will try new methods to overcome these difficulties, the expected results will enrich and develop the study of Euler-Poisson system, and will also provide important support to the practical applications.

欧拉-泊松方程组在流体动力学，等离子体动力学，风洞、发动机以及飞行器外形设计等领域有着非常广泛的应用，其相关模型的适定性问题是偏微分方程理论研究中的热点课题之一。本项目拟围绕有限长管道中稳态欧拉-泊松方程组跨音速激波多解问题的动态稳定性，“亚音速-音速-超音速-激波-亚音速”解的适定性，高维超音速和光滑跨音速解的适定性问题展开深入的研究。其中，如何处理相应的自由边界问题，如何通过寻找合适的乘子来得到能量估计，如何处理方程组中的耦合项，如何处理退化的情形等，都是研究中的困难点及核心。申请人与合作者将在已有的研究工作基础上，尝试运用新的数学方法来克服上述困难，丰富和发展相关的数学理论，为欧拉-泊松方程组的实际应用提供重要的理论依据。

本项目主要研究欧拉-泊松方程组相关模型的适定性理论，这类问题不仅是偏微分方程领域中的核心问题之一，在等离子体物理、天体物理、半导体元器件、生物蛋白质输运等领域也有着广泛的应用。受项目资助以来，申请人团队研究了一系列非等熵情形下稳态欧拉-泊松方程组的跨音速激波问题。证明了在适当的物理边界条件、管道长度和管道末端压力条件下，有且仅有两个跨音速激波解；证明了一类“亚音速-音速-超音速-激波-亚音速”解在一维直管道中的存在性；结合半导体元器件的物理特性，证明了变掺杂函数情形下跨音速激波解的存在唯一性。同时，对于拟一维扩张-收缩管道中稳态非等熵欧拉方程组，研究了跨音速激波解的不唯一性。特别地，申请人与合作者还研究了一类光滑超音速解的适定性，在无旋和非零涡度的情形下证明了超音速解的非线性结构稳定性，这是进一步研究高维跨音速流的基础。此外，申请人与合作者还研究了浅水波方程组的适定性理论，证明了含真空的古典解在有限时间内爆破，刻画了旋转外力及粘性项对整体古典解存在性的本质影响。