平面和曲面上嵌入图的k共振性研究

图的k共振性是具有完美匹配的图的一种特殊性质。在有机化学中，将碳氢化合物分子的碳原子和碳碳键抽象出来构成有机分子的骨架图，一个完美匹配也被称为是一个Kekulé 结构。若从一个分子骨架图中任意去掉不多于k个不交环，剩下的图仍有完美匹配，则此图被称为是k共振的。共振的概念来源于Clar 芳香六隅体理论和Randic共轭圈模型。这个概念能够很好的解释一些$\pi$电子性质。Kekulé 结构和共振性在研究分子的结构和性质中有重要作用。Clar 证明了: 通过对碳氢化合物的Kekulé 结构定义一个适当的芳香六隅体可以预示这个碳氢化合物的许多电子性质，包括相对稳定性, 芳香性和同分异构的芳香碳氢化合物的反应性。我们主要研究三个方面的内容：第一，刻画各种分子骨架图的k共振性；第二，建立共振性与可扩性等图的其它性质之间的关系；第三，探讨一般平面和曲面嵌入图的共振性的一般研究方法。

在有机化学中，一个完美匹配也被称为是一个Kekulé 结构。若从一个分子骨架图中任意去掉不多于k个不交环，剩下的图仍有完美匹配，则此图被称为是k共振的。共振的概念来源于Clar 芳香六隅体理论和Randic共轭圈模型。Kekulé 结构和共振性在研究分子的结构和性质中有重要作用。平面方格子图是平面上由方格子拼凑而成的图。这类图由于它的特殊结构而越来越受到数学研究者和化学研究者的关注。若在一个图中去掉一个边割，每个连通分支至少包含k个顶点，则此边割称为是k-限制的。我们主要取得两个方面的研究进展：第一，具体图类的共振性刻画。我们刻画了平面方格子图的极大共振性，具体给出了极大共振的平面格子图的类型和具体结构。并发现，在平面格子图中，若它们是4共振的则一定是极大共振的，且4是最小的满足此性质的自然数。此外，我们还刻画了平面格子图的3共振性和一部分2共振图。 其研究目的是为了探讨如何寻找最小的自然数 k 使得，若此类图是 k 共振的则一定是极大共振的；第二，讨论了图的连通性及其与图的结构关系。我们刻画了包含5-限制边割的图。并证明了，一个包含至少13个顶点的连通图包含5-限制边割当且仅当从图中任意去掉一个点，剩下的途中至少包含一个含有不少于5个顶点的连通分支。此外，我们在给定图的度序列的条件下，讨论了图的限制边联通性；给出了图的最优限制连通性在图的度和参数上的一个界，并进一步说明此界是紧的。