算子代数上的非线性映射及其在量子信息中的应用

In recent years, invariants of maps on operator algebras have been extensively studied. Eigenvalue analysis has proved highly successful in many applications. It is well known that in applied mathematics, it is not always enough to ask whether an operator is singular or nonsingular; the norm may be important as well as the fact that it is finite. Thus, the pseudo spectrum is posed. Whether can an operator be characterized by the pseudo-spectrum? We will study such a problem in this project; furthermore, as applications, we will characterize nonlinear maps preserving the pseudo-spectrum of all kinds of operator products; characterize nonlinear maps preserving peripheral spectrum of Jordan products of operators; characterize nonlinear maps preserving unitarily invariant or unitarily similarily invariant of opertor skew products; characterize nonlinear maps preserving strong skew Lie products on von Neumann algebras; characterize nonlinear maps preserving commutativity up to a factor, and moreover, characterize nonlinear maps preserving unitarily invariant of products up to a factor. In applications to quantum information, we will study separablity of composite states, and study nonlinear maps preserving convex combination of simple tensor products, and furthermore, solve several mathematical problems posed in quantum informations.

近十多年来，算子代数上映射的不变量研究得到许多学者的关注。特征值分析在许多学科中有着重要的应用，在应用数学中，研究者更加看重一个矩阵或算子逆的范数，这样pseudo谱应运而生。pseudo谱能否刻画算子？这将是本项目要探索的一个问题，作为应用，进而刻画以算子的各种乘积的pseudo谱为代数不变量的算子代数间非线性映射的结构；探索基本算子代数上保持算子Jordan乘积的peripheral谱的非线性映射的结构；以算子斜乘积的酉（相似）不变范数为几何不变量，刻画算子代数间非线性映射的结构；获得von Neumann代数上强保持斜Lie积的非线性映射的结构；探讨算子代数间保持按照因子交换的非线性映射的结构特征，进而给出保持按照因子乘积的酉相似不变泛函的非线性映射的刻画。应用于量子信息理论，探讨复合态的可分性问题，研究保持简单张量积凸组合的一般映射，进一步解决量子信息理论中提出的几个数学问题。

四年来，课题组顺利完成项目计划任务，分别刻画了基本算子代数上保持算子某些乘积的pseudo谱的非线性映射的结构；获得保持斜-Lie积pseudo谱的非线性映射的结构；给出一般von Neumann代数之间ξ-Lie可乘双射的结构；得到任意Banach空间套代数上线性映射成为导子的充要条件；获得保持Hilbert空间上自伴算子的广义Jordan乘积的边缘谱的映射的完全刻画和分类；得到保持广义乘积的边缘谱一般映射的结构以及保持广义Jordan乘积边缘谱一般映射的结构；获得算子代数上保持斜ξ-Lie零积可加映射的结构；给出算子代数之间保持Lie积数值域的一般映射的分类。矩阵代数之间的正线性映射的研究既有理论上的重要意义，也有量子信息理论中的重要应用，它是判别量子纠缠性的重要工具。我们给出4阶矩阵代数上由两个置换构造的D-型映射成为正映射的充分必要条件；探讨了量子态空间上保持纯态和凸组合的映射的刻画和分类，成功地得到把（可分）纯态映为（可分）纯态且保持严格凸组合映射的完全刻画和分类，并得到这些映射与单射（局部）量子测量的紧密关系，揭示了单射（局部）量子测量的几何特征；我们还把有限维二体量子态纠缠性的一个不等式判据推广到无限维系统，这是比重排判据和CCNR判据更强的判据；利用系统的各个双粒子分割平均部分熵探讨了任意维多粒子纯态纠缠；在SLOCC下对任意维的多粒子纯态经由系数矩阵的秩给出纠缠分类；通过系数矩阵，给出刻画纠缠态大小的一个新的纠缠度量，并证明了它满足纠缠单配性，给出一个态是极大纠缠的必要条件，也用此度量回答了一个四粒子态是否是极大纠缠的问题。