随机激励的拟哈密顿系统的平稳概率密度追踪控制

The probability density function(PDF) tracking control of nonlinear stochastic system has not been studied very systematically and profoundly in domestic. However, from the researchs of international fellows in last decade, this kind of stocastic tracking control problem relating to national defense, communications, chemical industry, process industry, economy, ecology, etc very important areas. Thus, the PDF tracking control for nonlinear stochastic system has important significances and engineering application values. In the present project, the tracking control of quasi-Hamilton system for tracking a specified stationary PDF is studied, where some significant factors,including excitations of Gaussian, harmonic, wide-band, narrow-band noises and so on are considered. The main procedures are as follow: firstly, by using the stochastic averaging method based on the generalized harmonic functions, the averaged Fokker-Planck-Kolmogorov(FPK) equation and drift, diffusion coefficients can be derived under different excitations. Then, the analytic expressions of the control forces are obtained by solving the averaged FPK equation. By using a Lyapunov function method and the corresponding differential operator, it is proved that the probability density of the controlled nonlinear system indeed converges to the given stationary probability density. Finally, simulation results are worked out in detail to illustrate the application and effectiveness of the proposed control design method. After three years of study, some effective theoritical menthods will be established, and problems will be solved to some extent when the new theoritical menthods are applied to practic.

非线性随机系统概率密度追踪控制的问题，在国内尚缺乏深入细致的研究，然而在国际同行近十几年的研究成果中可以看出，关于这类问题的研究涉及国防、通信、化工、过程工业、经济、生态等多个重要领域，因此研究非线性随机系统概率密度的追踪控制具有重要的理论意义及工程应用价值。本项目以拟哈密顿系统为对象，研究系统输出的概率密度追踪控制的设计方法，并考虑了高斯、谐和、宽带、有界噪声等多种不同的随机激励的影响。基本研究方法是：基于拟哈密顿系统随机平均法，对不同的随机激励分别得到相应的平均FPK方程和漂移、扩散系数。再针对目标给定的概率密度函数，通过求解高维的平均FPK方程得到控制力的解析表达式。最后用Lyapunov函数方法和相应的微分算子证明受控系统的收敛性，并用数值模拟验证。通过三年的研究，建立起行之有效的理论方法，并力求将其应用于工程领域中相关问题的解决。

随机激励作用下的拟哈密顿系统响应的概率密度追踪控制，这是一个充满挑战的前沿基础研究领域。该项目既顺应随机动力学与控制研究的新趋势，也是满足工程与科学中应用的迫切需要。在本课题中我们基于拟哈密顿系统的随机平均法，为高斯白噪声激励下多自由度非线性系统设计反馈控制，使得该系统的输出概率密度近似收敛于给定的平稳概率密度。并用Lyapunov函数和椭圆微分算子证明受控后系统的平稳概率密度确实能够收敛到目标平稳概率密度。. 我们研究了拟不可积系统的概率密度追踪控制，建立相应的随机平均FPK方程，接着将反馈控制力分成保守和耗散两部分：用保守部分改变系统的哈密顿特性，使之与目标概率密度相应的哈密顿函数一致；再用控制力的耗散部分耗散系统的能量，使得响应的概率密度趋于给定的目标概率密度。最后用Lyapunov函数和椭圆微分算子证明受控后系统的平稳概率密度确实能够收敛到目标平稳概率密度。上述结果即为“Control of quasi non-integrable systems for targeting a specified stationary probability density”，已投稿在Internal Journal of Control，正在进行第二轮修改。此外我们对部分可积系统的概率密度追踪控制也进行了研究，完成论文“随机部分可积拟哈密顿系统的概率密度追踪控制”，成果在《动力学与控制学报》2017第1卷第1期发表。. 针对具体的研究对象，我们还系统学习了广义哈密顿实现，数值积分方法，稳定性分析等在电力系统稳定与控制的应用中有了全面的了解，并将非线性随机系统的概率密度控制方法应用到水轮机系统中，完成论文“随机非线性水轮机的概率分布控制”，并投稿《电机与控制学报》，目前已修改完成待录用。