覆盖性质与D-空间及拓扑代数等问题的研究

Covering properties and topological algebra are two important research directions in general topology. In covering properties, there are more topologists pay attention to study problems of monotone (star) covering properties and to study problems which are related to D-spaces and dually discrete. By the study of D-spaces, we will give a deep study on problems of monotone covering properties, star-covering properties and topological algebra, which are closely related to D-spaces. The specific research is summarized as follows: We investigate properties and relations of topological spaces which are defined by covering properties and selection principles; We study the D-propertiy of monotone Lindelöf spaces and other monotone covering properties, and find ways to investigate classical monotone covering properties and their internal characterizations by studying new monotone covering properties; We study daul properties of a chain (F) space and study the D-property of a linearly ordered topological space with an \omega-monotone pseudobase assignment; We investigate some sufficiency conditions that a hyperspace has the following properties: D-property, star-Menger propertiy or generalized metrizable properties (M-spaces, etc.); We study the equivalence of bounded sets and strongly bounded sets in paratopological groups and get some new applications of the reflections of paratopological (semitopological) groups, and study the quotient space properties and three-space properties of paratopological (semitopological) groups to a topological subgroups.

一般拓扑学的两个重要研究方向包括覆盖性质与拓扑代数， 覆盖性质的一个热点研究问题就是研究单调（星）覆盖问题及与D-空间及离散对偶有关的问题，本项目就是通过对D-空间性质的研究，深入研究与之有密切联系的单调覆盖性质、星覆盖性质及拓扑代数问题。具体研究如下几个方面：研究利用星覆盖性质和选择原则所定义拓扑空间类的性质及相互关系；研究单调Lindelöf空间或其它单调覆盖性质的D-空间性质，通过研究新的单调覆盖性质，进而找到研究经典单调覆盖性质的方法及其内部刻画的问题；研究链(F)性质空间的对偶性同时研究具有\omega 单调伪基指派的线性序拓扑空间的D-空间性质；研究某些超空间具有D-空间性质、星Menger 性质或广义度量性质(M-空间等)的充分条件；研究仿拓扑中有界集与强有界集的等价性问题及仿（半）拓扑群反射的新的应用，研究仿（半）拓扑群对拓扑子群的商空间性质及三空间性质。

D-空间、离散对偶、单调覆盖性质、单调覆盖性质所包含的性质、序空间、拓扑代数及星覆盖性质是一般拓扑学中非常重要的研究方向。经过4年的努力，我们项目组在上述几个方面有所突破，解决了几个公开问题，取得了非常有意义的科研成果，共发表文章47篇，其中SCI文章44篇，取得的主要成果如下：.在D-空间及与之相关领域：讨论了D-空间的某些充分条件及其在特殊空间类如广义序及广义序完备映射像中的等价条件。证明了若X是一个具有性质（B）的广义序空间GO-空间且X的极大的无孤立点的子空间是单调（可数）亚紧子空间，那么X是单调（可数）亚紧的。这给出了一公开问题的部分回答。如果广义序空间的完备映射像X是可数个D-空间的并，则X是D-空间。研究了超空间在上（下）有限拓扑V+（V-）下的拓扑对策、D-空间及覆盖性质。还讨论了单调基仿紧、函数空间以及γ-可度的相关性质。.拓扑代数方面：证明了仿拓扑群的R-factorizablity性质被开连续同态映射保持，上述结论回答了一个公开问题。研究了拟拓扑群、覆盖性质和基数不等式。讨论了半（仿）拓扑群可同构嵌入到一些特殊空间类的充要条件。研究了仿拓扑群中有界集的性质。.在星覆盖性质方面：证明了Hausdorff亚Lindelöf的弱星可数空间是feebly Lindelöf和Hausdorff亚紧的弱星有限空间是几乎紧的，部分回答了Alas和Wilson提出的公开问题。构造了正规的弱星可数但即不是几乎星可数也不是星Lindelöf空间回答了Alas,Junqueira和Wilson提出的公开问题。构造了Tchonoff弱Lindelöf空间但不是cellular-Lindelöf的例子回答了Bella和Spadaro提出的公开问题。在集论假设下，构造了正规的星可数空间具有不是星Lindelof的正则Gδ闭子集否定回答了一个公开问题。