带次线性项奇摄动椭圆方程解的集中现象

Among the areas of partial differential equations, singularly perturbed semilinear elliptic problems, which are originated from biology and physics, are constantly attracting the attentions of many mathematicians. In recent years there have been extensive studies to understand the asymptotic behaviors of the solutions, including the least energy solutions, to such problems. Under suitable assumptions, through variational methods, Lyapunov-Schmidt reduction method, linearization process, energy estimates and some other techniques, it is known that these solutions concentrate around a single point or several points, or maybe even some special curves or surfaces, and exhibit spike layers around where they concentrate, moreover the locations where they concentrate are also known. However when the singularly perturbed semilinear elliptic problems involve sublinear terms, in general the maximum principle and linearization process do not apply, so we know very little in this case. In this project we want to study the existence and asymptotic behaviors of the least energy solutions of the singularly perturbed problems with sublinear terms and make some comparisons to the corresponding problems without the sublinear terms. Because of the nature of our equations, the support of the least energy solutions becomes smaller as the parameter gets smaller, we will mainly use variational methods and accurate energy estimates to study them.

在偏微分方程领域，有着生物和物理背景的半线性奇摄动椭圆方程总是吸引着很多数学家的注意力。最近人们对于这类方程解的渐进性，包括最小能量解的渐进性，进行了大量的研究。 在适当的条件下， 利用变分方法，Lyapunov-Schmidt 约化，线性化过程，能量估计以及其它一些方法，人们研究发现这类方程的解会集中在一点或几点，甚至会集中在一些特殊曲线或曲面上，在这些解集中的周围会出现尖层， 而且解集中的位置也被得知。但是当半线性奇摄动椭圆方程有次线性项时，极大值原理一般不适用，同时也不能使用线性化过程， 因此在这种情况下我们所知有限。在本项目中我们将研究带次线性项的半线性奇摄动椭圆方程最小能量解的存在性和渐进性，然后与没有次线性项的半线性奇摄动椭圆方程作相应的比较。由于我们方程的特殊性，最小能量解的支撑集会随着参数变小而变小，我们将主要用变分方法和精确的能量估计对其进行研究。

在生物和化学上有种"pattern formation" 现象,这种现象可以由两种不同的偏微分方程模型来解释。例如activator-inhibitor系统模型，其中activator扩散较慢，inhibitor扩散较快；或者Keller-Segel的chemotaxis交错扩散模型。这两种模型，通过分析，都可以可以归结于一类半线性奇摄动椭圆方程问题。最近人们对于这类方程解的渐进性，包括最小能量解的渐进性，进行了大量的研究。 在适当的条件下， 利用变分方法，Lyapunov-Schmidt 约化，线性化过程，能量估计以及其它一些方法，人们研究发现这类方程的解会集中在一点或几点，甚至会集中在一些特殊曲线或曲面上，在这些解集中的周围会出现尖层， 而且解集中的位置也被得知。但是当半线性奇摄动椭圆方程有次线性项时，极大值原理一般不适用，同时也不能使用线性化过程， 因此在本项目中我们研究了带次线性项的半线性奇摄动椭圆方程最小能量解的存在性和渐进性。.我们首先通过条件极值证明了在适当条件下，维数大于等于三的一般带有次线性项的椭圆方程全空间问题非负最低能量解的存在性，并且这些解都具有紧支。通过比较我们证明了带次线性项的半线性奇摄动椭圆方程的最低能量解可以集中在区域的任何地方，甚至边界上。然后我们又通过对称山路引理证明了两维以上的一般带有次线性项的椭圆方程全空间问题有无穷多个球对称紧支解，其中包括最低能量解。然后我们可以证明两维带次线性项的半线性奇摄动椭圆方程的最低能量解有相似的集中现象。我们还研究了半空间问题的唯一性，为更进一步的研究打下了基础。最后我们还研究了一类带有临界指标的椭圆方程在全空间上解的存在性，渐进性问题。