非线性滤波问题自适应和高阶PDF方法

Nonlinear filter problem has applications in vastly diverse research areas including biology, mathematical fanance, signal processing, image processing, target tracking and surveillance of unmanned aerial vehicles. Therefore, the study of numerical simulations and computation methods for the nonlinear filter problem becomes especially significant. Numerical solving nonlinear filter problem is facing the challenge of low regularity of the exact solution and high computational complex. In this proposal, we set forth to construct novel numerical algorithms for accurate approximations of nonlinear filtering problems, by focusing on high accurate method for Zakai equation and BSDE to overcome the low regularity and applying the sparse grid skill to reduce the computational complexcy. Furthermore, it will widely improve the application of nonlinear filter model to real world.

非线性滤波问题在许多不同领域有着重要的应用，如生物学、金融数学、信号处理、图像处理以及目标跟踪和无人机导航等，因此非线性滤波问题的数值模拟和数值计算成为一个重要的研究课题。数值求解非线性滤波问题面临的挑战是：精确模型解的低正则性和随机计算的高复杂度。本项目研究思路是通过构造Zakai方程和正-倒向随机微分方程的高精度格式来克服解的低正则性、利用稀疏网格方法降低计算复杂度，从而构造出非线性滤波问题的高精度、低计算复杂度的新算法，从而推动非线性滤波模型在现实世界的广泛应用。

非线性滤波问题在许多不同领域有着重要的应用，如生物学、金融数学、信号处理、图像处理以及目标跟踪等。利用非线性滤波方法对多个传感器的观测数据进行分析是解决许多应用问题重要手段之一。.. 非线性滤波主要研究从观测的数据中寻找一个真实随机动力系统的最佳逼近问题。具体地说，滤波问题涉及一个待探寻的状态过程和一个相应的观测过程，此观测过程依赖于状态过程以及随机噪音。滤波问题的目标是从观测数据中探求在平方可积的意义下真实状态过程的最佳逼近，这一问题等价于研究状态过程关于观测信息的条件概率分布的性质。.. 本项目的研究目的是构造新的求解非线性滤波问题的自适应的、高精度的数值算法。.. 我们推导了滤波问题随机解过程的密度函数满足的Zakai方程，利用分裂算法构造了Zakai方程的一阶近似方程，包含一个一阶随机偏微分方程和二阶确定型微分方程，分别尝试了用弱Galerkin方法和谱方法对空间进行离散，用差分方法对时间进行离散，应用区域自适应技术进行加速，成功构造了一类求解非线性滤波问题的PDF格式，同时进行了误差分析和数值实验。通过数值实验，我们发现用Hermit多项式作基底的谱方法在空间变量的收敛具有非常高的收敛阶，能够达到指数阶收敛，这远远高于理论证明的代数阶收敛。这一现象在确定性的方程求解中已经被发现并讨论过，我们在随机计算中首次发现了这一现象。.. 围绕此中心课题的研究，我们还深入地研究了弱Galerkin有限元方法，在特征值问题、随机偏微分方程求解、各种类型的微分方程求解等方面的应用中，都取得了非常好的效果。.. 经过四年的深入研究，取得了一系列成果，我们先后撰写、发表了学术论文20篇，其中SCI检索论文19篇，中文核心期刊论文1篇。培养博士毕业生8名，硕士毕业生10名，目前在读博士生6名，硕士生10名。