数学广义相对论若干问题研究

This project aims to investigate the Einstein constraint equations in general relativity and the positive mass theorem for SUSY compactification spaces with negative cosmological constant. Precisely, we are going to study the following three problems: (1) When the limit equation has nontrivial solutions, the solvability of the conformal constraint system. (2) The solvability of the conformal covariant split system under small perturbation of parameters. (3) The positive mass theorem for spaces approaching the product of the AdS spacetime and a Calabi-Yau 3-fold. The above problems are issues in the mainstream of modern mathematical physics and they are with considerable scientific significance. We are confident that, with our efforts, it is very likely that insightful results be achieved if this project is approved.

本项目拟研究广义相对论中Einstein约束方程及负宇宙学常数情形超对称紧致化空间上的正质量定理。具体地说，我们将研究以下三个问题：(1)极限方程存在非平凡解时，共形约束系统的可解性。（2）参数微小扰动下，共形协变分裂系统的可解性。（3）渐近于AdS时空与紧致Calabi-Yau 3-流形乘积的空间上的正质量定理。该项目所涉及的问题已成为现代国际数学物理的主流方向之一，具有很高的学术研究价值。我们深信通过自身的努力以及项目的资助，按照研究计划做出有意义且有深度的结果是完全有可能的。

本项目主要研究成果如下：(1) 真空爱因斯坦约束方程。证明了共形协变分裂系统解的存在性。这些解可以生成满足真空爱因斯坦约束方程的非常数平均曲率真空初始数据集。(2)与质量相关的几何不等式。建立并证明了轴对称情形关于质量、角动量及电磁荷的几何不等式；应用并发展Mantoulidis-Schoen的collar extension技术，得到了关于Hawking质量与Bartnik质量的估计。(3)其他结果。证明了引力坍塌Oppenheimer-Snyder模型中Hayward质量是守恒并且是正的；研究了椭球面Hayward质量的类空无穷远极限；研究了Marginally Trapped Tori的几何性质；证明了曲率在分布意义下渐近AdS时空的正能量定理。