抛物和椭圆界面问题的间断有限元方法研究

本项目主要研究在许多实际问题，如材料科学和流体力学中遇到的抛物和椭圆界面问题的数值方法。拟采用局部间断有限元方法，研究适用于强间断系数抛物和椭圆界面问题的数值格式，尤其是解和法向导数在界面处均不连续的情形。首先考虑界面处数值通量的构造和间断系数的处理；其次基于有限元分析理论，对提出的数值方法进行误差估计；最后通过设计一系列数值试验，来验证本项目中所给出数值方法的有效性，并将这些数值方法应用于实际问题的计算。

本项目研究了在许多实际问题，如材料科学和流体力学中遇到的抛物和椭圆界面问题的间断有限元方法。我们首先讨论了二维凸多边形区域上抛物界面问题的局部间断有限元（LDG）离散方法，其中界面为任意光滑曲线。我们证明了该方法是 L^2 稳定的，并且在能量模下解的收敛阶为 O(h|logh|^1/2)，给出的数值算例验证了方法的有效性和理论分析结果；其次研究了二维凸多边形区域上椭圆界面问题的最小耗散局部间断有限元方法，其中界面是任意光滑曲线。我们证明出该方法的解和通量在 L^2 模下的收敛阶分别为 O(h|logh|^1/2) 和 O(h^2|logh|)。在数值试验中，采用逐次替换迭代方法求解 LDG 格式，数值结果证实了方法的有效性和理论分析结果；最后研究了求解二维含间断系数非线性抛物问题的最小耗散局部间断有限元方法。证明了采用分片线性有限元近似时，近似解的收敛阶为 O(h)，并给出数值算例验证理论分析结果。