极小纽结与(m,n)-解结数

The history of the study of Knots Theory dates back to prehistoric times. Besides their uses such as recording information and tying objects together, knots have interested humans for their aesthetics and spiritual symbolism. Now Knots Theory has many applications in such as Biology，Chemistry and Physics. In this project, the applicant would like to study the combinatorial property of knots. A knot K in a 3-manifold M is said to be small if its complement contains no essential incompressible surfaces. The applicant would like to study the existence problems of small knots in some 3-manifolds. In a previously work, the applicant defined a new operation on knot diagrams, which is called (m,n)-move. And also proved that (m,n)-moves are unknotting operations. So they can be used to define new invariants of knots, which are called (m,n)-unknotting numbers. The properties of (m,n)-moves and (m,n)-unknotting numbers are also research objects of this project.

纽结理论的研究要追溯到史前时代。纽结不但可以用来记事和把物品系在一起，纽结还成为了人类美学和精神的象征。现代，纽结理论在生物学、化学及物理学都有着广泛的应用。在本项目中，申请者将要对纽结的组合性质进行研究。设K是3维流形M中的一个纽结，如果K的补中不含有本质的闭的不可压缩曲面，那么，K就称为是极小的。申请者将研究某些3维流形中的极小纽结的存在性问题。在申请者先前的工作中，申请者定义了纽结投影图上的一种新的运算—(m,n)-变换并证明了(m,n)-变换是可使纽结变成平凡结的变换。从而，可以用(m,n)-变换定义纽结的不变量—(m,n)-解结数。关于(m,n)-变换及(m,n)-解结数的研究也是本项目要研究的课题之一。

纽结理论是三维流形理论的重要研究内容。其中，纽结的分类问题是纽结理论的核心问题。在纽结的分类问题中，纽结的各种不变量是重要的研究工具。纽结的交叉点数，纽结的解结数，纽结的桥数等为纽结的不变量；多项式不变量也是一类纽结的不变量，例如，亚历山大多项式，琼斯多项式，HOMFLY多项式等；此外，纽结的补空间C(K)所具有的性质，也可以定义纽结的不变量。例如，我们可以把C(K)的最小的Heegaard分解的亏格定义为纽结的亏格，记作g(K)。纽结的亏格也是纽结的一种不变量。本项目主要对于极小纽结与(m,n)-解结数两方面内容进行系统地研究。.极小纽结方面：极小纽结的存在性问题一直是三维流形研究的重要问题。Lopez猜想猜测：任意闭的极小三维流形中存在着极小纽结。邱瑞锋与王诗宬证明了亏格大于等于2的柄体中一类简单的、极小的纽结的存在性问题。. 在此基础上，我们对于满足一定性质的压缩体的简单的、极小的纽结的存在性问题展开系统的研究。并得出结论：设F为亏格至少为2的连通闭曲面，C为F×I添加2g(F)-1个1-handles得到的压缩体，则C中包含简单的极小的纽结。并整理得到论文《SIMPLE,SMALL KNOTS IN COMPRESSION BODIES》。. (m,n)-解结数方面：纽结的各类解结数是纽结的不变量。在纽结的分类问题中有着重要的研究意义。本人提出了纽结的(m,n)-变换的概念，并证明了(m,n)-变换是可平凡化变换。这样，我们便可以得到一类纽结不变量—(m,n)-解结数。交叉点变换可视作(1,1)-变换，#-变换可视作(2,2)-变换，即(m,n)-变换为交叉点变换和#-变换的推广。那么，(m,n)-解结数可视为为交叉点数和#-解结数的推广。由于(m,n)-变换和(m,n)-解结数是本人首次提出的概念，故可以研究的问题很多。本人在项目开展期间，主要研究内容为：对于给定的自然数m和n，计算了给定纽结的(m,n)-解结数，并期望得出更一般性得结论；研究了纽结的连通和的(m,n)-解结数是否满足可加性；研究了纽结的(m,n)-解结数是否满足一定的大小关系。